Номер 248, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для того чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{2x-1}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Первообразная $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.

$F(x) = \int \frac{2}{2x-1} dx$

Вынесем постоянный множитель 2 за знак интеграла:

$F(x) = 2 \int \frac{1}{2x-1} dx$

Данный интеграл является табличным и соответствует виду $\int \frac{dx}{kx+b} = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В нашем случае $k=2$ и $b=-1$.

Применяя эту формулу, получаем:

$F(x) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \ln|2x-1| \right) + C = \ln|2x-1| + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки правильности результата можно найти производную от полученной первообразной $F(x)$:

$F'(x) = (\ln|2x-1| + C)' = \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' + 0 = \frac{1}{2x-1} \cdot 2 = \frac{2}{2x-1}$

Так как $F'(x) = f(x)$, решение найдено верно.

Ответ: $F(x) = \ln|2x-1| + C$.

2)

Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = e^{3x+2}$, нужно вычислить неопределенный интеграл $\int e^{3x+2} dx$.

$F(x) = \int e^{3x+2} dx$

Этот интеграл решается с помощью формулы для интегрирования показательной функции $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$. В данном случае $k=3$ и $b=2$.

Применяем формулу:

$F(x) = \frac{1}{3}e^{3x+2} + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Проверим результат, взяв производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left( \frac{1}{3}e^{3x+2} + C \right)' = \frac{1}{3} \cdot (e^{3x+2})' + 0 = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+2} \cdot (3x+2)' = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+2} \cdot 3 = e^{3x+2}$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, первообразная найдена правильно.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x+2} + C$.