Номер 246, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$ (ось Ox), и вертикальными прямыми $x = 1$ и $x = 3$, находится с помощью определенного интеграла. На промежутке $[1, 3]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ положительна, поэтому площадь $S$ равна интегралу от функции:
$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx$
Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln|x|$:
$S = \ln|x| \Big|_{1}^{3} = \ln|3| - \ln|1| = \ln(3) - 0 = \ln(3)$.
Ответ: $S = \ln(3)$.

2) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 4$ и $x = 10$. На промежутке $[4, 10]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ положительна. Площадь вычисляется как:
$S = \int_{4}^{10} \frac{1}{x} dx = \ln|x| \Big|_{4}^{10} = \ln|10| - \ln|4| = \ln(10) - \ln(4)$.
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:
$S = \ln(\frac{10}{4}) = \ln(\frac{5}{2})$.
Ответ: $S = \ln(\frac{5}{2})$.

3) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -0.3$ и $x = -1$. Пределы интегрирования — от -1 до -0.3. На промежутке $[-1, -0.3]$ переменная $x$ отрицательна, следовательно, функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Площадь равна:
$S = \int_{-1}^{-0.3} \left(-\frac{1}{x}\right) dx = - \int_{-1}^{-0.3} \frac{1}{x} dx = -\Big[\ln|x|\Big]_{-1}^{-0.3}$.
Подставляем пределы интегрирования:
$S = -(\ln|-0.3| - \ln|-1|) = -(\ln(0.3) - \ln(1)) = -(\ln(0.3) - 0) = -\ln(0.3)$.
Используя свойство логарифмов $-\ln(a) = \ln(\frac{1}{a})$, получаем:
$S = \ln(\frac{1}{0.3}) = \ln(\frac{10}{3})$.
Ответ: $S = \ln(\frac{10}{3})$.

4) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -3$ и $x = -2$. Пределы интегрирования — от -3 до -2. На промежутке $[-3, -2]$ переменная $x$ отрицательна, следовательно, функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Площадь равна:
$S = \int_{-3}^{-2} \left(-\frac{1}{x}\right) dx = - \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} dx = -\Big[\ln|x|\Big]_{-3}^{-2}$.
Подставляем пределы интегрирования:
$S = -(\ln|-2| - \ln|-3|) = -(\ln(2) - \ln(3)) = \ln(3) - \ln(2)$.
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:
$S = \ln(\frac{3}{2})$.
Ответ: $S = \ln(\frac{3}{2})$.