Номер 242, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = \log_{0.5}(2+x)$. Чтобы найти её производную, используем формулу производной логарифмической функции $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$. В нашем случае, $a=0.5$, $u(x) = 2+x$, и производная внутренней функции $u'(x) = (2+x)' = 1$. Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{1}{(2+x)\ln(0.5)}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x=1$:
$f'(1) = \frac{1}{(2+1)\ln(0.5)} = \frac{1}{3\ln(0.5)}$.
Так как $\ln(0.5) = \ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, то:
$f'(1) = \frac{1}{3(-\ln 2)} = -\frac{1}{3\ln 2}$.
Ответ: $f'(1) = -\frac{1}{3\ln 2}$.

2) Дана функция $f(x) = \log_{3}(5+x)$. Используем ту же формулу для производной логарифмической функции: $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$. Здесь основание $a=3$, внутренняя функция $u(x) = 5+x$, и её производная $u'(x) = (5+x)' = 1$. Производная функции $f(x)$ будет:
$f'(x) = \frac{1}{(5+x)\ln 3}$.
Найдем значение производной в точке $x=4$:
$f'(4) = \frac{1}{(5+4)\ln 3} = \frac{1}{9\ln 3}$.
Ответ: $f'(4) = \frac{1}{9\ln 3}$.

3) Дана функция $f(x) = 0.2^{x-3}$. Это показательная функция. Для нахождения её производной используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$. В данном случае, основание $a=0.2$, показатель $u(x) = x-3$, и его производная $u'(x) = (x-3)' = 1$. Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = 0.2^{x-3} \cdot \ln(0.2) \cdot 1 = 0.2^{x-3} \ln(0.2)$.
Найдем значение производной в точке $x=4$:
$f'(4) = 0.2^{4-3} \ln(0.2) = 0.2^1 \ln(0.2) = 0.2 \ln(0.2)$.
Ответ: $f'(4) = 0.2 \ln(0.2)$.

4) Дана функция $f(x) = 2.5^{x-1}$. Необходимо сравнить значение $f'(2)$ с нулём. Сначала найдем производную функции, используя формулу для производной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$. Здесь $a=2.5$, $u(x) = x-1$, и $u'(x) = (x-1)' = 1$. Производная равна:
$f'(x) = 2.5^{x-1} \cdot \ln(2.5) \cdot 1 = 2.5^{x-1} \ln(2.5)$.
Найдем значение производной в точке $x=2$:
$f'(2) = 2.5^{2-1} \ln(2.5) = 2.5^1 \ln(2.5) = 2.5 \ln(2.5)$.
Теперь сравним полученное значение с нулём. Множитель $2.5$ является положительным числом ($2.5 > 0$). Натуральный логарифм $\ln x$ положителен при $x > 1$. Так как $2.5 > 1$, то $\ln(2.5) > 0$. Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Следовательно, $f'(2) = 2.5 \ln(2.5) > 0$.
Ответ: $f'(2) > 0$.