Номер 236, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Область определения функции $f(x) = \frac{\lg(3 + 2x - x^2)}{2 - x}$ находится из системы условий, при которых функция имеет смысл:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3 + 2x - x^2 > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3 + 2x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x - 3 < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-1; 3)$.

Решим второе условие: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in (-1; 3)$ и $x \neq 2$.
Это означает, что мы должны исключить точку $x=2$ из интервала $(-1; 3)$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух интервалов: $(-1; 2) \cup (2; 3)$.

Ответ: $D(f) = (-1; 2) \cup (2; 3)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{\ln(x^2 + 5x)}{x - 7}$ находится из системы условий:

1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $x^2 + 5x > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 7 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} x^2 + 5x > 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 5x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 5) > 0$.
Корни уравнения $x(x + 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.

Решим второе условие: $x - 7 \neq 0$, откуда $x \neq 7$.

Найдем пересечение множеств: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$ и $x \neq 7$.
Точка $x=7$ попадает в интервал $(0; +\infty)$, поэтому ее необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции: $(-\infty; -5) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

3) Область определения функции $f(x) = \lg|x - 3| + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ находится из системы условий для каждого слагаемого:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x - 3| > 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x - 2 > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} |x - 3| > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Решим первое условие: $|x - 3| > 0$.
Модуль любого числа неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда выражение под модулем равно нулю. Значит, неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, для которых $x - 3 = 0$.
Следовательно, $x \neq 3$.

Решим второе неравенство: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$.

Объединим оба условия: $x > 2$ и $x \neq 3$.
Это означает, что из интервала $(2; +\infty)$ мы должны исключить точку $x=3$.

Таким образом, область определения функции: $(2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = 10 \lg|x + 4| - \frac{3}{\sqrt{8 - x}}$ находится из системы условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x + 4| > 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $8 - x > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} |x + 4| > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases}$

Решим первое условие: $|x + 4| > 0$.
Это неравенство выполняется для всех $x$, при которых $x + 4 \neq 0$.
Следовательно, $x \neq -4$.

Решим второе неравенство: $8 - x > 0$, откуда $x < 8$.

Объединим оба условия: $x < 8$ и $x \neq -4$.
Это означает, что из интервала $(-\infty; 8)$ мы должны исключить точку $x=-4$.

Таким образом, область определения функции: $(-\infty; -4) \cup (-4; 8)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 8)$.