Номер 232, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) f(x) = log₃x + 2

Для построения графика функции $f(x) = \log_3 x + 2$ возьмем за основу график функции $y = \log_3 x$ и сместим его на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $x=1$, то $y = \log_3 1 + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка (1, 2).
• Если $x=3$, то $y = \log_3 3 + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка (3, 3).
• Если $x=1/3$, то $y = \log_3(1/3) + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка (1/3, 1).
• Найдем точку пересечения с осью Ox (нуль функции), решив уравнение $f(x)=0$:
  $\log_3 x + 2 = 0 \implies \log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = 1/9$. Точка (1/9, 0).

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция возрастает на всей области определения.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1/9$.
• Пересечение с осью Oy: Нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$.
• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля (функция общего вида).
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (1/9; +\infty)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (0; 1/9)$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_3 x + 2$ получен сдвигом графика $y = \log_3 x$ на 2 единицы вверх. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, возрастает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x=1/9$, асимптота $x=0$.

2) f(x) = log₁/₃x - 4

Для построения графика функции $f(x) = \log_{1/3} x - 4$ возьмем за основу график функции $y = \log_{1/3} x$ и сместим его на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $x=1$, то $y = \log_{1/3} 1 - 4 = 0 - 4 = -4$. Точка (1, -4).
• Если $x=1/3$, то $y = \log_{1/3} (1/3) - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка (1/3, -3).
• Если $x=3$, то $y = \log_{1/3} 3 - 4 = -1 - 4 = -5$. Точка (3, -5).
• Найдем нуль функции: $f(x)=0$:
  $\log_{1/3} x - 4 = 0 \implies \log_{1/3} x = 4 \implies x = (1/3)^{4} = 1/81$. Точка (1/81, 0).

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание логарифма $a=1/3$ и $0 < a < 1$, функция убывает на всей области определения.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1/81$.
• Пересечение с осью Oy: Нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$.
• Четность/нечетность: Функция общего вида.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (0; 1/81)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (1/81; +\infty)$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{1/3} x - 4$ получен сдвигом графика $y = \log_{1/3} x$ на 4 единицы вниз. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x=1/81$, асимптота $x=0$.

3) f(x) = -log₂x

Для построения графика функции $f(x) = -\log_2 x$ возьмем за основу график функции $y = \log_2 x$ и отразим его симметрично относительно оси Ox.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $x=1$, то $y = -\log_2 1 = -0 = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x=2$, то $y = -\log_2 2 = -1$. Точка (2, -1).
• Если $x=4$, то $y = -\log_2 4 = -2$. Точка (4, -2).
• Если $x=1/2$, то $y = -\log_2(1/2) = -(-1) = 1$. Точка (1/2, 1).

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Функция $y=\log_2 x$ возрастает. После отражения относительно оси Ox функция $f(x)=-\log_2 x$ убывает на всей области определения. (Также можно заметить, что $-\log_2 x = \log_{1/2} x$, а логарифм с основанием $1/2$ убывает).
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1$.
• Пересечение с осью Oy: Нет.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$.
• Четность/нечетность: Функция общего вида.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (0; 1)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: График функции $f(x) = -\log_2 x$ получен отражением графика $y = \log_2 x$ относительно оси Ox. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x=1$, асимптота $x=0$.

4) f(x) = 2 - log₄(x + 3)

Для построения графика функции $f(x) = 2 - \log_4(x+3)$ выполним последовательные преобразования графика $y=\log_4 x$:
1. Сдвиг влево на 3 единицы: $y = \log_4(x+3)$.
2. Отражение относительно оси Ox: $y = -\log_4(x+3)$.
3. Сдвиг вверх на 2 единицы: $y = 2 - \log_4(x+3)$.

Найдем несколько точек для построения:

• Вертикальная асимптота смещается влево на 3: $x = -3$.
• Найдем точку, где аргумент логарифма равен 1: $x+3=1 \implies x=-2$.
  $y = 2 - \log_4(-2+3) = 2 - \log_4 1 = 2 - 0 = 2$. Точка (-2, 2).
• Найдем точку, где аргумент логарифма равен 4: $x+3=4 \implies x=1$.
  $y = 2 - \log_4(1+3) = 2 - \log_4 4 = 2 - 1 = 1$. Точка (1, 1).
• Найдем нуль функции: $f(x)=0$:
  $2 - \log_4(x+3) = 0 \implies \log_4(x+3) = 2 \implies x+3 = 4^2 = 16 \implies x=13$. Точка (13, 0).
• Найдем точку пересечения с осью Oy, положив $x=0$:
  $y = 2 - \log_4(0+3) = 2 - \log_4 3 \approx 2 - 0.79 = 1.21$. Точка $(0, 2-\log_4 3)$.

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $x+3 > 0 \implies x > -3$. $D(f) = (-3; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Функция $y=\log_4 x$ возрастающая. Из-за знака "минус" перед логарифмом функция $f(x) = 2 - \log_4(x+3)$ убывает на всей области определения.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=13$.
• Пересечение с осью Oy: $y = 2 - \log_4 3$. Точка $(0; 2-\log_4 3)$.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=-3$.
• Четность/нечетность: Функция общего вида.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (-3; 13)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (13; +\infty)$.

Ответ: График функции $f(x) = 2 - \log_4(x+3)$ получен из графика $y=\log_4 x$ сдвигом на 3 влево, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 2 вверх. Свойства: $D(f) = (-3; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(-3; +\infty)$, нуль функции $x=13$, асимптота $x=-3$.