Номер 234, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+2} - \log_{1.1}(6-2x)$ находится из системы неравенств, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма – строго положительным.
Система неравенств:
$\begin{cases}x+2 \ge 0 \\6-2x > 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
2) $6-2x > 0 \implies -2x > -6 \implies x < 3$
Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение полученных решений: $x \ge -2$ и $x < 3$.
Это соответствует промежутку $[-2; 3)$.
Ответ: $D(f) = [-2; 3)$.

2) Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{3-x} + \log_5(9+4x)$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным.
Составим систему неравенств:
$\begin{cases}3-x \ge 0 \\9+4x > 0\end{cases}$
Решим систему:
$\begin{cases}-x \ge -3 \\4x > -9\end{cases}\implies\begin{cases}x \le 3 \\x > -9/4\end{cases}$
Пересечением этих двух условий является промежуток $(-9/4; 3]$.
Ответ: $D(f) = (-9/4; 3]$.

3) Область определения функции $f(x) = \log_2(x^2 - 1) + \sqrt{5-x}$ задается системой неравенств:
$\begin{cases}x^2 - 1 > 0 \\5-x \ge 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.
2) $5-x \ge 0 \implies -x \ge -5 \implies x \le 5$. Решением является интервал $x \in (-\infty; 5]$.
Теперь найдем пересечение этих решений: $( (-\infty; -1) \cup (1; \infty) ) \cap (-\infty; 5]$.
Пересечение $(-\infty; -1)$ с $(-\infty; 5]$ дает $(-\infty; -1)$.
Пересечение $(1; \infty)$ с $(-\infty; 5]$ дает $(1; 5]$.
Областью определения является объединение этих двух промежутков.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; 5]$.

4) Для функции $f(x) = \log_{0.8}(1-x^4) - \sqrt{x-0.7}$ область определения находится из системы:
$\begin{cases}1-x^4 > 0 \\x-0.7 \ge 0\end{cases}$
Решим неравенства:
1) $1-x^4 > 0 \implies x^4 < 1$. Это неравенство равносильно $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$. Решение: $x \in (-1; 1)$.
2) $x-0.7 \ge 0 \implies x \ge 0.7$. Решение: $x \in [0.7; \infty)$.
Найдем пересечение интервалов $(-1; 1)$ и $[0.7; \infty)$.
Пересечением является промежуток $[0.7; 1)$.
Ответ: $D(f) = [0.7; 1)$.