Номер 235, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \log_3(x(x-3)) - \log_3(x+4)$, необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x(x-3) > 0$. Найдём корни уравнения $x(x-3) = 0$, это $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, она положительна вне корней, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x+4 > 0$, откуда получаем $x > -4$, то есть $x \in (-4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $x \in ((- \infty; 0) \cup (3; +\infty)) \cap (-4; +\infty)$.

Пересечение дает нам объединение двух интервалов: $(-4; 0) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-4; 0) \cup (3; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \ln(3+5x) - \ln(4-9x^2)$ область определения находится из условия, что аргументы натуральных логарифмов должны быть строго положительны. Запишем систему неравенств:

$ \begin{cases} 3+5x > 0 \\ 4-9x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $3+5x > 0$ получаем $5x > -3$, что означает $x > -3/5$.

Из второго неравенства $4-9x^2 > 0$ получаем $9x^2 < 4$, или $x^2 < 4/9$. Это неравенство выполняется для $x$, находящихся в интервале $-2/3 < x < 2/3$.

Найдем пересечение полученных множеств: $x > -3/5$ и $-2/3 < x < 2/3$. Сравним дроби: $-3/5 = -0.6$ и $-2/3 \approx -0.667$. Так как $-0.6 > -0.667$, то $-3/5 > -2/3$. Следовательно, пересечение интервалов $(-3/5; +\infty)$ и $(-2/3; 2/3)$ есть интервал $(-3/5; 2/3)$.

Ответ: $D(f) = (-3/5; 2/3)$.

3) Область определения функции $f(x) = \log_{0.5}(x^2+x) + \sqrt{2-x}$ определяется двумя условиями: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а подкоренное выражение — неотрицательным.

$ \begin{cases} x^2+x > 0 \\ 2-x \geq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x^2+x > 0$, или $x(x+1) > 0$. Корнями уравнения $x(x+1)=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=0$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Решим второе неравенство $2-x \geq 0$, откуда $x \leq 2$, то есть $x \in (-\infty; 2]$.

Найдем пересечение этих множеств: $((-\infty; -1) \cup (0; +\infty)) \cap (-\infty; 2]$. Это пересечение состоит из двух частей:

1. $(-\infty; -1) \cap (-\infty; 2] = (-\infty; -1)$

2. $(0; +\infty) \cap (-\infty; 2] = (0; 2]$

Объединив их, получаем область определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (0; 2]$.

4) Для функции $f(x) = \sqrt{1-x} + \ln(9-x^2)$ область определения находится из следующих условий: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным.

$ \begin{cases} 1-x \geq 0 \\ 9-x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $1-x \geq 0$ получаем $x \leq 1$.

Из второго неравенства $9-x^2 > 0$ получаем $x^2 < 9$, что эквивалентно $-3 < x < 3$.

Теперь необходимо найти пересечение решений: $x \leq 1$ и $-3 < x < 3$. Пересечением множеств $(-\infty; 1]$ и $(-3; 3)$ является полуинтервал $(-3; 1]$.

Ответ: $D(f) = (-3; 1]$.