Номер 238, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ находится из системы условий:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \end{cases} $

1) Для функции $f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{2x}{x + 1} - 1\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \\ \frac{2x}{x + 1} - 1 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

2. $x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$.

3. $\frac{2x}{x + 1} - 1 > 0 \implies \frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0 \implies \frac{x-1}{x+1} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-1$ и $x=1$), получаем $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий: $(x > 2) \cap (x \neq 3) \cap (x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$.

Пересечение интервалов $(2; +\infty)$ и $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ дает $(2; +\infty)$. Учитывая, что $x \neq 3$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{x+5}\left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ x + 5 \neq 1 \\ \frac{3x+2}{2x-1} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x + 5 > 0 \implies x > -5$.

2. $x + 5 \neq 1 \implies x \neq -4$.

3. $\frac{3x+2}{2x-1} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-2/3$ и $x=1/2$), получаем $x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(x > -5) \cap (x \neq -4) \cap (x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-5; +\infty)$ с объединением $(-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$ дает $(-5; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$. Исключая точку $x=-4$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-4; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_{x-1}\left(\frac{x}{9-x^2}\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ \frac{x}{9-x^2} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

2. $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$.

3. $\frac{x}{9-x^2} > 0 \implies \frac{x}{(3-x)(3+x)} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-3$, $x=0$ и $x=3$), получаем $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Найдем пересечение решений: $(x > 1) \cap (x \neq 2) \cap (x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3))$.

Пересечение интервала $(1; +\infty)$ с объединением $(-\infty; -3) \cup (0; 3)$ дает $(1; 3)$. Исключая точку $x=2$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$.

4) Для функции $f(x) = \log_{3-x}\left(\frac{x^2-4}{x}\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} 3 - x > 0 \\ 3 - x \neq 1 \\ \frac{x^2-4}{x} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $3 - x > 0 \implies x < 3$.

2. $3 - x \neq 1 \implies x \neq 2$.

3. $\frac{x^2-4}{x} > 0 \implies \frac{(x-2)(x+2)}{x} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-2$, $x=0$ и $x=2$), получаем $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(x < 3) \cap (x \neq 2) \cap (x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3)$ с объединением $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$ дает $(-2; 0) \cup (2; 3)$. Условие $x \neq 2$ уже учтено в полученных интервалах.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (2; 3)$.