Номер 243, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

1) $f(x) = x \ln x, x_0 = 0,5$;

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0,5$:

$f(x_0) = f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(0,5) = 0,5 \cdot \ln(1/2) = 0,5 \cdot (\ln 1 - \ln 2) = 0,5 \cdot (0 - \ln 2) = -0,5 \ln 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0,5$:

$f'(x_0) = f'(0,5) = \ln(0,5) + 1 = \ln(1/2) + 1 = -\ln 2 + 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в уравнение касательной:

$y = -0,5 \ln 2 + (1 - \ln 2)(x - 0,5)$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = -0,5 \ln 2 + (1 - \ln 2)x - 0,5(1 - \ln 2)$

$y = -0,5 \ln 2 + x - x \ln 2 - 0,5 + 0,5 \ln 2$

$y = x - x \ln 2 - 0,5$

$y = (1 - \ln 2)x - 0,5$.

Ответ: $y = (1 - \ln 2)x - 0,5$.

2) $f(x) = \ln(x^2 + 2x), x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \ln(2^2 + 2 \cdot 2) = \ln(4 + 4) = \ln 8$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = (\ln(x^2 + 2x))' = \frac{(x^2 + 2x)'}{x^2 + 2x} = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = \frac{2 \cdot 2 + 2}{2^2 + 2 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в уравнение касательной:

$y = \ln 8 + \frac{3}{4}(x - 2)$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = \ln 8 + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \cdot 2$

$y = \ln 8 + \frac{3}{4}x - \frac{6}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \ln 8 - \frac{3}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \ln 8 - \frac{3}{2}$.