Страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для функции $f(x) = 7 + x - 5\ln{x}$ в точке $x_0 = 1$ найдем ее производную.

Производная суммы функций равна сумме производных. Используем основные правила дифференцирования:

Производная константы: $(c)' = 0$.

Производная степенной функции: $(x)' = 1$.

Производная натурального логарифма: $(\ln{x})' = \frac{1}{x}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (7 + x - 5\ln{x})' = (7)' + (x)' - (5\ln{x})' = 0 + 1 - 5 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{5}{x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 1 - \frac{5}{1} = 1 - 5 = -4$.

Ответ: -4.

2) Для функции $f(x) = 4 + \frac{1}{8}\ln(2x)$ в точке $x_0 = 3$ найдем ее производную.

Для нахождения производной члена $\frac{1}{8}\ln(2x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Пусть внешняя функция $g(u) = \frac{1}{8}\ln{u}$, а внутренняя $h(x) = 2x$.

Тогда их производные: $g'(u) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{u}$ и $h'(x) = 2$.

Производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = \left(4 + \frac{1}{8}\ln(2x)\right)' = (4)' + \left(\frac{1}{8}\ln(2x)\right)' = 0 + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{8 \cdot 2x} \cdot 2 = \frac{2}{16x} = \frac{1}{8x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = \frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$.

1) Дана функция $f(x) = \log_{0.5}(2+x)$. Чтобы найти её производную, используем формулу производной логарифмической функции $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$. В нашем случае, $a=0.5$, $u(x) = 2+x$, и производная внутренней функции $u'(x) = (2+x)' = 1$. Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{1}{(2+x)\ln(0.5)}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x=1$:
$f'(1) = \frac{1}{(2+1)\ln(0.5)} = \frac{1}{3\ln(0.5)}$.
Так как $\ln(0.5) = \ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, то:
$f'(1) = \frac{1}{3(-\ln 2)} = -\frac{1}{3\ln 2}$.
Ответ: $f'(1) = -\frac{1}{3\ln 2}$.

2) Дана функция $f(x) = \log_{3}(5+x)$. Используем ту же формулу для производной логарифмической функции: $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$. Здесь основание $a=3$, внутренняя функция $u(x) = 5+x$, и её производная $u'(x) = (5+x)' = 1$. Производная функции $f(x)$ будет:
$f'(x) = \frac{1}{(5+x)\ln 3}$.
Найдем значение производной в точке $x=4$:
$f'(4) = \frac{1}{(5+4)\ln 3} = \frac{1}{9\ln 3}$.
Ответ: $f'(4) = \frac{1}{9\ln 3}$.

3) Дана функция $f(x) = 0.2^{x-3}$. Это показательная функция. Для нахождения её производной используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$. В данном случае, основание $a=0.2$, показатель $u(x) = x-3$, и его производная $u'(x) = (x-3)' = 1$. Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = 0.2^{x-3} \cdot \ln(0.2) \cdot 1 = 0.2^{x-3} \ln(0.2)$.
Найдем значение производной в точке $x=4$:
$f'(4) = 0.2^{4-3} \ln(0.2) = 0.2^1 \ln(0.2) = 0.2 \ln(0.2)$.
Ответ: $f'(4) = 0.2 \ln(0.2)$.

4) Дана функция $f(x) = 2.5^{x-1}$. Необходимо сравнить значение $f'(2)$ с нулём. Сначала найдем производную функции, используя формулу для производной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$. Здесь $a=2.5$, $u(x) = x-1$, и $u'(x) = (x-1)' = 1$. Производная равна:
$f'(x) = 2.5^{x-1} \cdot \ln(2.5) \cdot 1 = 2.5^{x-1} \ln(2.5)$.
Найдем значение производной в точке $x=2$:
$f'(2) = 2.5^{2-1} \ln(2.5) = 2.5^1 \ln(2.5) = 2.5 \ln(2.5)$.
Теперь сравним полученное значение с нулём. Множитель $2.5$ является положительным числом ($2.5 > 0$). Натуральный логарифм $\ln x$ положителен при $x > 1$. Так как $2.5 > 1$, то $\ln(2.5) > 0$. Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Следовательно, $f'(2) = 2.5 \ln(2.5) > 0$.
Ответ: $f'(2) > 0$.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

1) $f(x) = x \ln x, x_0 = 0,5$;

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0,5$:

$f(x_0) = f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(0,5) = 0,5 \cdot \ln(1/2) = 0,5 \cdot (\ln 1 - \ln 2) = 0,5 \cdot (0 - \ln 2) = -0,5 \ln 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0,5$:

$f'(x_0) = f'(0,5) = \ln(0,5) + 1 = \ln(1/2) + 1 = -\ln 2 + 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в уравнение касательной:

$y = -0,5 \ln 2 + (1 - \ln 2)(x - 0,5)$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = -0,5 \ln 2 + (1 - \ln 2)x - 0,5(1 - \ln 2)$

$y = -0,5 \ln 2 + x - x \ln 2 - 0,5 + 0,5 \ln 2$

$y = x - x \ln 2 - 0,5$

$y = (1 - \ln 2)x - 0,5$.

Ответ: $y = (1 - \ln 2)x - 0,5$.

2) $f(x) = \ln(x^2 + 2x), x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \ln(2^2 + 2 \cdot 2) = \ln(4 + 4) = \ln 8$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = (\ln(x^2 + 2x))' = \frac{(x^2 + 2x)'}{x^2 + 2x} = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = \frac{2 \cdot 2 + 2}{2^2 + 2 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в уравнение касательной:

$y = \ln 8 + \frac{3}{4}(x - 2)$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = \ln 8 + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \cdot 2$

$y = \ln 8 + \frac{3}{4}x - \frac{6}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \ln 8 - \frac{3}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \ln 8 - \frac{3}{2}$.

1) $f(x) = 2\ln x + x^{-2}$

1. Найдём область определения функции. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Выражение $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определено для всех $x \neq 0$. Совмещая эти условия, получаем область определения функции: $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (2\ln x + x^{-2})' = 2 \cdot \frac{1}{x} - 2x^{-3} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^3}$. Приводя к общему знаменателю, получаем $f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{x^3}$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
$\frac{2x^2 - 2}{x^3} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. $2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1$. Корни этого уравнения: $x=1$ и $x=-1$. Учитывая область определения $x > 0$, единственной критической точкой является $x=1$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.
- На интервале $(0, 1)$, например при $x=0.5$, имеем $f'(0.5) = \frac{2(0.5^2 - 1)}{0.5^3} < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$, имеем $f'(2) = \frac{2(2^2 - 1)}{2^3} > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $(1, +\infty)$; промежуток убывания: $(0, 1)$.

2) $f(x) = x^2 \cdot e^x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как функции $x^2$ и $e^x$ определены для любого действительного $x$.

2. Найдём производную, используя правило дифференцирования произведения: $f'(x) = (x^2 \cdot e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x = x(x+2)e^x$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$: $x(x+2)e^x = 0$. Так как множитель $e^x$ всегда положителен, то $x(x+2) = 0$. Отсюда критические точки: $x=0$ и $x=-2$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $x(x+2)$.
- На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x=-3$, $f'(-3) = (-3)(-3+2)e^{-3} > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-2, 0)$, например при $x=-1$, $f'(-1) = (-1)(-1+2)e^{-1} < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, +\infty)$, например при $x=1$, $f'(1) = 1(1+2)e^1 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-2, 0)$.

3) $f(x) = x^3 \cdot e^{-3x}$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную по правилу произведения: $f'(x) = (x^3 \cdot e^{-3x})' = (x^3)'e^{-3x} + x^3(e^{-3x})' = 3x^2e^{-3x} + x^3(-3e^{-3x}) = (3x^2 - 3x^3)e^{-3x} = 3x^2(1-x)e^{-3x}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$: $3x^2(1-x)e^{-3x} = 0$. Так как $e^{-3x} > 0$, то $3x^2(1-x) = 0$. Критические точки: $x=0$ и $x=1$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака выражения $x^2(1-x)$, так как $3>0$, $e^{-3x}>0$ и $x^2 \ge 0$.
- На интервале $(-\infty, 0)$, например при $x=-1$, $f'(-1) = 3(-1)^2(1-(-1))e^{3} > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(0, 1)$, например при $x=0.5$, $f'(0.5) = 3(0.5)^2(1-0.5)e^{-1.5} > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$, $f'(2) = 3(2)^2(1-2)e^{-6} < 0$. Функция убывает.
Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$, интервалы возрастания можно объединить.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1)$; промежуток убывания: $(1, +\infty)$.

4) $f(x) = x^3 - 3\ln(2x)$

1. Найдём область определения. Аргумент логарифма должен быть положительным: $2x > 0$, что означает $x > 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3\ln(2x))' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{2x} = 3x^2 - \frac{3}{x} = \frac{3x^3 - 3}{x}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$: $\frac{3x^3 - 3}{x} = 0$. Это уравнение равносильно $3x^3 - 3 = 0$ при $x \neq 0$. Решая, получаем $x^3 = 1$, откуда $x=1$. Эта точка принадлежит области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. В области определения $x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $3(x^3-1)$.
- На интервале $(0, 1)$, например при $x=0.5$, выражение $x^3-1$ отрицательно, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$, выражение $x^3-1$ положительно, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $(1, +\infty)$; промежуток убывания: $(0, 1)$.

Для того чтобы доказать, что функция является убывающей на некотором интервале, необходимо найти её производную и показать, что она отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех значений $x$ из этого интервала.

Найдем производную функции $f(x) = x \ln x$, используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = \ln x + 1$ на заданном интервале $(0; \frac{1}{e})$.

Если $x$ принадлежит интервалу $(0; \frac{1}{e})$, то выполняется неравенство $0 < x < \frac{1}{e}$.

Функция натурального логарифма $y = \ln x$ является возрастающей. Поэтому, если $x < \frac{1}{e}$, то $\ln x < \ln(\frac{1}{e})$.

Зная, что $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -1$, получаем, что для любого $x$ из данного интервала $\ln x < -1$.

Отсюда следует, что $\ln x + 1 < -1 + 1$, то есть $\ln x + 1 < 0$.

Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всем интервале $(0; \frac{1}{e})$.

Ответ: Доказано, что $f'(x) < 0$ на интервале $(0; \frac{1}{e})$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Сначала определим область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0,5$.

Область определения функции — $(0,5; +\infty)$. Заданный для анализа интервал $(0,5; 1,5)$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции $f(x) = x - \ln(2x - 1)$:

$f'(x) = (x)' - (\ln(2x-1))' = 1 - \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' = 1 - \frac{2}{2x-1}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{(2x-1) - 2}{2x-1} = \frac{2x-3}{2x-1}$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x)$ на интервале $(0,5; 1,5)$.

Проанализируем знак числителя и знаменателя дроби на этом интервале.

1. Знаменатель: $2x-1$. Поскольку на интервале $(0,5; 1,5)$ всегда выполняется $x > 0,5$, то $2x > 1$, и, следовательно, $2x-1 > 0$. Знаменатель всегда положителен.

2. Числитель: $2x-3$. Поскольку на интервале $(0,5; 1,5)$ всегда выполняется $x < 1,5$, то $2x < 3$, и, следовательно, $2x-3 < 0$. Числитель всегда отрицателен.

Таким образом, производная $f'(x) = \frac{2x-3}{2x-1}$ на интервале $(0,5; 1,5)$ является частным отрицательного числителя и положительного знаменателя, а значит, $f'(x) < 0$.

Ответ: Доказано, что $f'(x) < 0$ на интервале $(0,5; 1,5)$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

1) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$ (ось Ox), и вертикальными прямыми $x = 1$ и $x = 3$, находится с помощью определенного интеграла. На промежутке $[1, 3]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ положительна, поэтому площадь $S$ равна интегралу от функции:
$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx$
Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln|x|$:
$S = \ln|x| \Big|_{1}^{3} = \ln|3| - \ln|1| = \ln(3) - 0 = \ln(3)$.
Ответ: $S = \ln(3)$.

2) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 4$ и $x = 10$. На промежутке $[4, 10]$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ положительна. Площадь вычисляется как:
$S = \int_{4}^{10} \frac{1}{x} dx = \ln|x| \Big|_{4}^{10} = \ln|10| - \ln|4| = \ln(10) - \ln(4)$.
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:
$S = \ln(\frac{10}{4}) = \ln(\frac{5}{2})$.
Ответ: $S = \ln(\frac{5}{2})$.

3) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -0.3$ и $x = -1$. Пределы интегрирования — от -1 до -0.3. На промежутке $[-1, -0.3]$ переменная $x$ отрицательна, следовательно, функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Площадь равна:
$S = \int_{-1}^{-0.3} \left(-\frac{1}{x}\right) dx = - \int_{-1}^{-0.3} \frac{1}{x} dx = -\Big[\ln|x|\Big]_{-1}^{-0.3}$.
Подставляем пределы интегрирования:
$S = -(\ln|-0.3| - \ln|-1|) = -(\ln(0.3) - \ln(1)) = -(\ln(0.3) - 0) = -\ln(0.3)$.
Используя свойство логарифмов $-\ln(a) = \ln(\frac{1}{a})$, получаем:
$S = \ln(\frac{1}{0.3}) = \ln(\frac{10}{3})$.
Ответ: $S = \ln(\frac{10}{3})$.

4) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = -3$ и $x = -2$. Пределы интегрирования — от -3 до -2. На промежутке $[-3, -2]$ переменная $x$ отрицательна, следовательно, функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ положительна. Площадь равна:
$S = \int_{-3}^{-2} \left(-\frac{1}{x}\right) dx = - \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} dx = -\Big[\ln|x|\Big]_{-3}^{-2}$.
Подставляем пределы интегрирования:
$S = -(\ln|-2| - \ln|-3|) = -(\ln(2) - \ln(3)) = \ln(3) - \ln(2)$.
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:
$S = \ln(\frac{3}{2})$.
Ответ: $S = \ln(\frac{3}{2})$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{5^x}{x^2 + 1}$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0=1$, то есть $f'(1)$.

Для нахождения производной функции, представленной в виде частного двух функций, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, $u(x) = 5^x$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Находим их производные: $u'(x) = (5^x)' = 5^x \ln 5$ и $v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.

Подставляем эти выражения в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(5^x)'(x^2 + 1) - 5^x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{5^x \ln 5 \cdot (x^2 + 1) - 5^x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки в числителе для упрощения:

$f'(x) = \frac{5^x((x^2 + 1)\ln 5 - 2x)}{(x^2 + 1)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = \frac{5^1((1^2 + 1)\ln 5 - 2 \cdot 1)}{(1^2 + 1)^2} = \frac{5(2\ln 5 - 2)}{2^2} = \frac{5 \cdot 2(\ln 5 - 1)}{4} = \frac{10(\ln 5 - 1)}{4} = \frac{5(\ln 5 - 1)}{2}$

Ответ: $f'(1) = \frac{5(\ln 5 - 1)}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0=e$, то есть $f'(e)$.

Снова применяем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x^3$.

Их производные равны: $u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{(\ln x)'(x^3) - (\ln x)(x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - \ln x \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6}$

Упростим выражение, вынеся $x^2$ в числителе за скобки и сократив дробь:

$f'(x) = \frac{x^2(1 - 3 \ln x)}{x^6} = \frac{1 - 3 \ln x}{x^4}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = e$. Учитывая, что натуральный логарифм числа $e$ равен 1 ($\ln e = 1$):

$f'(e) = \frac{1 - 3 \ln e}{e^4} = \frac{1 - 3 \cdot 1}{e^4} = \frac{-2}{e^4}$

Ответ: $f'(e) = -\frac{2}{e^4}$.

3) Дана функция $f(x) = e^{-x^2}$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $f'(\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(u)=e^u$, внутренняя функция $h(x)=-x^2$.

Их производные: $g'(u)=e^u$ и $h'(x) = (-x^2)' = -2x$.

Применяя цепное правило, находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{-x^2})' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$

Сначала вычислим значение выражения в показателе степени: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение обратно в выражение для производной:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}}$

Упростим коэффициент перед экспонентой: $-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.

Таким образом, получаем окончательный результат:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\sqrt{2} e^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\sqrt{2}e^{-1/2}$.