Страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген сандарды өсу ретімен орналастыру үшін, оларды бір негізге келтіріп, содан кейін көрсеткіштерін салыстыру қажет. Бұл жағдайда 2 негізін қолдану ең ыңғайлы.

Сандарды ортақ негізге келтіру

1. $(\frac{1}{2})^{-4}$ санын түрлендірейік. Дәреженің қасиеті бойынша:
$(\frac{1}{2})^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^{(-1) \cdot (-4)} = 2^4 = 16$.

2. $1$ саны кез келген негіздің нөлдік дәрежесіне тең:
$1 = 2^0$.

3. $4^{-\sqrt{3}}$ санын түрлендірейік. Алдымен $4 = 2^2$ екенін ескереміз:
$4^{-\sqrt{3}} = (2^2)^{-\sqrt{3}} = 2^{-2\sqrt{3}}$.

4. $8$ санын 2 негізі бойынша жазамыз:
$8 = 2^3$.

Дәреже көрсеткіштерін салыстыру

Нәтижесінде біз келесі сандарды алдық: $2^4$, $2^0$, $2^{-2\sqrt{3}}$ және $2^3$.
Көрсеткіштік функцияның негізі $2 > 1$ болғандықтан, функция өспелі болады. Бұл дәреженің көрсеткіші үлкен болған сайын, санның мәні де үлкен болатынын білдіреді. Сондықтан дәреже көрсеткіштерін салыстыру жеткілікті: $4$, $0$, $-2\sqrt{3}$, $3$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ екенін ескерсек, $-2\sqrt{3} \approx -2 \cdot 1.732 = -3.464$.
Дәреже көрсеткіштерін өсу ретімен орналастырамыз:
$-2\sqrt{3} < 0 < 3 < 4$.

Соңғы реттілікті анықтау

Дәреже көрсеткіштерінің өсу ретіне сәйкес, бастапқы сандар да келесі ретпен орналасады:
$2^{-2\sqrt{3}} < 2^0 < 2^3 < 2^4$.
Осыдан, бастапқы сандардың өсу реті:
$4^{-\sqrt{3}} < 1 < 8 < (\frac{1}{2})^{-4}$.

Бұл қатар ұсынылған нұсқалардың ішінде D нұсқасына сәйкес келеді.

Ответ: D. $4^{-\sqrt{3}}$; 1; 8; $(\frac{1}{2})^{-4}$.

Чтобы найти значение выражения $\log_{81} 414$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c}$. В качестве нового основания $d$ выберем 22, так как нам даны логарифмы по этому основанию.

$\log_{81} 414 = \frac{\log_{22} 414}{\log_{22} 81}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель полученной дроби, используя свойства логарифмов и данные из условия задачи: $\log_{22} 9 = a$ и $\log_{22} 46 = b$.

1. Преобразуем знаменатель:

$\log_{22} 81$

Представим 81 как $9^2$:

$\log_{22} 81 = \log_{22} (9^2)$

По свойству логарифма степени ($\log_c(x^y) = y \cdot \log_c x$):

$2 \cdot \log_{22} 9$

Так как по условию $\log_{22} 9 = a$, то знаменатель равен:

$\log_{22} 81 = 2a$

2. Преобразуем числитель:

$\log_{22} 414$

Разложим число 414 на множители. Заметим, что $414 = 9 \cdot 46$.

$\log_{22} 414 = \log_{22} (9 \cdot 46)$

По свойству логарифма произведения ($\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$):

$\log_{22} 9 + \log_{22} 46$

Так как по условию $\log_{22} 9 = a$ и $\log_{22} 46 = b$, то числитель равен:

$\log_{22} 414 = a + b$

3. Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:

$\log_{81} 414 = \frac{\log_{22} 414}{\log_{22} 81} = \frac{a+b}{2a}$

Полученный результат соответствует варианту A.

Ответ: A. $\frac{a+b}{2a}$

7. Нам нужно найти значение производной функции $y = \log_7(\cos(2x))$ в точке $x = \frac{\pi}{8}$.

Это сложная функция, и для нахождения ее производной мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Общая формула для производной логарифма с основанием $a$ от функции $u(x)$ имеет вид: $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$.

В нашем случае, $a = 7$ и $u(x) = \cos(2x)$.

Шаг 1: Найдем производную внутренней функции $u(x) = \cos(2x)$.
Применяя цепное правило, получаем:
$u'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Шаг 2: Подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной логарифма.
$y' = \frac{-2\sin(2x)}{\cos(2x) \ln 7}$.

Для удобства вычислений можно упростить это выражение, используя тождество $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$y' = -\frac{2}{\ln 7} \cdot \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = -\frac{2\tan(2x)}{\ln 7}$.

Шаг 3: Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{8}$.
Подставим $x = \frac{\pi}{8}$ в выражение для производной:
$y'\left(\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{2\tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)}{\ln 7} = -\frac{2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\ln 7}$.

Шаг 4: Найдем значение тангенса.
Мы знаем, что $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Шаг 5: Подставим значение тангенса обратно в выражение.
$y'\left(\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{2 \cdot 1}{\ln 7} = -\frac{2}{\ln 7}$.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом A.

Ответ: $A. -\frac{2}{\ln7}$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, используется формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данном случае, нам дана функция $f(x) = xe^{-3x} + 4$ и абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

1. Найдем ординату точки касания, то есть значение функции при $x_0 = -1$:

$y_0 = f(x_0) = f(-1) = (-1) \cdot e^{-3(-1)} + 4 = -1 \cdot e^3 + 4 = 4 - e^3$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1, 4 - e^3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

Для нахождения производной слагаемого $xe^{-3x}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (xe^{-3x} + 4)' = (xe^{-3x})' + (4)'$

$f'(x) = (x)' \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x})' + 0$

$f'(x) = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x} \cdot (-3)) = e^{-3x} - 3xe^{-3x}$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной, то есть значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = e^{-3(-1)} - 3(-1)e^{-3(-1)} = e^3 - (-3)e^3 = e^3 + 3e^3 = 4e^3$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $y_0 = 4 - e^3$ и $k = 4e^3$ в уравнение касательной $y - y_0 = k(x - x_0)$:

$y - (4 - e^3) = 4e^3(x - (-1))$

$y - 4 + e^3 = 4e^3(x + 1)$

$y - 4 + e^3 = 4e^3x + 4e^3$

$y = 4e^3x + 4e^3 - e^3 + 4$

$y = 4e^3x + 3e^3 + 4$

Это уравнение соответствует варианту А.

Ответ: $y = 4e^3x + 3e^3 + 4$.

Берілген функцияның $y = x^3 - 3\ln x$ өсу және кему аралықтарын анықтау үшін келесі қадамдарды орындаймыз.

1. Функцияның анықталу облысы.

Натурал логарифм $\ln x$ функциясы тек оң мәндер үшін анықталған, сондықтан $x > 0$. Демек, функцияның анықталу облысы $D(y) = (0; +\infty)$ аралығы болады.

2. Функцияның туындысын табу.

Функцияның өсу және кему аралықтарын табу үшін оның бірінші ретті туындысын табамыз:

$y' = (x^3 - 3\ln x)' = (x^3)' - (3\ln x)'$

Дәрежелік функция мен натурал логарифмнің туындысының ережелерін қолданамыз:

$y' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$

Туындыны ортақ бөлімге келтіріп, ықшамдаймыз:

$y' = \frac{3x^3 - 3}{x}$

3. Кризистік нүктелерді анықтау.

Кризистік нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестіреміз ($y' = 0$) немесе туындының анықталмаған нүктелерін іздейміз. Туынды $x=0$ нүктесінде анықталмаған, бірақ бұл нүкте функцияның анықталу облысына кірмейді. Сондықтан тек $y' = 0$ жағдайын қарастырамыз:

$\frac{3x^3 - 3}{x} = 0$

Бөлшектің алымы нөлге тең болуы керек:

$3x^3 - 3 = 0$

$3x^3 = 3$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Кризистік нүкте $x=1$ функцияның анықталу облысы $(0; +\infty)$ ішінде жатыр.

4. Туындының таңбасын аралықтарда зерттеу.

$x=1$ нүктесі анықталу облысын екі аралыққа бөледі: $(0; 1)$ және $(1; +\infty)$. Әр аралықта туындының $y' = \frac{3(x^3-1)}{x}$ таңбасын тексереміз:

— $(0; 1)$ аралығында: Cынақ нүктесі ретінде $x = 0.5$ алайық. Туындының мәні:

$y'(0.5) = \frac{3((0.5)^3 - 1)}{0.5} = \frac{3(0.125 - 1)}{0.5} = \frac{3(-0.875)}{0.5} < 0$

Туынды теріс ($y' < 0$), сондықтан функция $(0; 1)$ аралығында кемиді.

— $(1; +\infty)$ аралығында: Cынақ нүктесі ретінде $x = 2$ алайық. Туындының мәні:

$y'(2) = \frac{3(2^3 - 1)}{2} = \frac{3(8 - 1)}{2} = \frac{3 \cdot 7}{2} = 10.5 > 0$

Туынды оң ($y' > 0$), сондықтан функция $(1; +\infty)$ аралығында өседі.

Қорытынды:

Функция $(0; 1]$ аралығында кемиді және $[1; +\infty)$ аралығында өседі. Бұл В нұсқасына сәйкес келеді.

Ответ: B. $[1; +\infty)$ – өседі, $(0; 1]$ – кемиді;

Для нахождения точек экстремума функции $y = 0,5x^2 - 6x + 2\ln x^4$ необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и исследовать знак производной в окрестности найденных критических точек.

1. Определение области определения функции

Функция содержит логарифмический член $2\ln x^4$. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$x^4 > 0$
Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и нахождение производной

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$, важно учесть область определения. Так как $x^4 = (|x|)^4$, то $\ln x^4 = 4\ln|x|$.
Функция принимает вид: $y = 0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|$.
Теперь найдем первую производную $y'$:
$y' = (0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|)' = (0,5x^2)' - (6x)' + (8\ln|x|)'$
Учитывая, что производная от $\ln|x|$ равна $\frac{1}{x}$, получаем:
$y' = 0,5 \cdot 2x - 6 + 8 \cdot \frac{1}{x} = x - 6 + \frac{8}{x}$

3. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y'$ существует на всей области определения функции $y$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$y' = 0 \implies x - 6 + \frac{8}{x} = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - 6x + 8}{x} = 0$
Поскольку $x \ne 0$, числитель должен быть равен нулю:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корни уравнения:
$x_1 = 2$
$x_2 = 4$
Обе точки ($x=2$ и $x=4$) принадлежат области определения функции и являются критическими точками.

4. Определение характера экстремумов

Для определения типа экстремума (максимум или минимум) исследуем знак производной $y' = \frac{x^2 - 6x + 8}{x} = \frac{(x-2)(x-4)}{x}$ на интервалах, на которые критические точки и точка разрыва $x=0$ делят область определения.
Рассмотрим интервалы, содержащие наши критические точки:
- На интервале $(0, 2)$, выберем пробную точку $x=1$. $y'(1) = \frac{(1-2)(1-4)}{1} = 3 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(2, 4)$, выберем пробную точку $x=3$. $y'(3) = \frac{(3-2)(3-4)}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. Функция убывает.
Поскольку в точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «−», то $x=2$ является точкой локального максимума. Следовательно, $x_{max} = 2$.
- На интервале $(4, +\infty)$, выберем пробную точку $x=5$. $y'(5) = \frac{(5-2)(5-4)}{5} = \frac{3}{5} > 0$. Функция возрастает.
Поскольку в точке $x=4$ производная меняет знак с «−» на «+», то $x=4$ является точкой локального минимума. Следовательно, $x_{min} = 4$.
Таким образом, функция имеет точку максимума $x=2$ и точку минимума $x=4$.
Ответ: C. $x_{max} = 2, x_{min} = 4$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 e^x$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производную функции.
Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x^2$ и $v = e^x$. Тогда их производные: $u' = 2x$ и $v' = e^x$.
Производная функции $y$ равна: $y' = (x^2 e^x)' = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x$.

2. Найти критические точки.
Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $2x e^x + x^2 e^x = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $x e^x$: $x e^x (2 + x) = 0$
Поскольку $e^x$ всегда больше нуля, равенство обращается в ноль, только если один из других множителей равен нулю: $x = 0$ или $2 + x = 0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

3. Проверить принадлежность критических точек заданному отрезку.
Заданный отрезок — $[-1; 2]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
Точка $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
Следовательно, для нахождения экстремумов мы будем рассматривать значения функции в точке $x = 0$ и на концах отрезка: $x = -1$ и $x = 2$.

4. Вычислить значения функции в выбранных точках.
Вычислим значения функции $y = x^2 e^x$ в каждой из этих точек:
- При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.
- При $x = 0$: $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.
- При $x = 2$: $y(2) = 2^2 \cdot e^2 = 4e^2$.

5. Сравнить полученные значения.
Мы получили три значения: $0$, $\frac{1}{e}$ и $4e^2$.
Сравнивая их, получаем: $0 < \frac{1}{e} < 4e^2$ (поскольку $e \approx 2.718$).
- Наименьшее значение функции на отрезке: $y_{min} = 0$.
- Наибольшее значение функции на отрезке: $y_{max} = 4e^2$.

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке равны $4e^2$ и $0$ соответственно. Это соответствует варианту D.

Ответ: D. $4e^2; 0$.

12. Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{2} (3^x - \frac{3}{x}) dx $ необходимо найти первообразную подынтегральной функции и затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

1.Нахождение первообразной.
Используя свойство линейности, интеграл от разности можно разбить на разность интегралов:

$ \int (3^x - \frac{3}{x}) dx = \int 3^x dx - \int \frac{3}{x} dx $

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя стандартные формулы интегрирования:
- Первообразная для показательной функции $a^x$ вычисляется по формуле $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} $. В нашем случае $a=3$, поэтому: $ \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} $
- Первообразная для функции $ \frac{k}{x} $ вычисляется по формуле $ \int \frac{k}{x} dx = k \ln|x| $. В нашем случае $k=3$, поэтому: $ \int \frac{3}{x} dx = 3 \ln|x| $

Таким образом, первообразная для всей подынтегральной функции $ f(x) = 3^x - \frac{3}{x} $ равна:

$ F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| $

2.Применение формулы Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла имеет вид: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $.
Подставим наши пределы интегрирования $a=1$ и $b=2$:

$ \int_{1}^{2} (3^x - \frac{3}{x}) dx = \left. \left( \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| \right) \right|_{1}^{2} $

Это означает, что нам нужно вычислить разность значений первообразной в точках $x=2$ и $x=1$:

$ F(2) - F(1) = \left( \frac{3^2}{\ln 3} - 3 \ln|2| \right) - \left( \frac{3^1}{\ln 3} - 3 \ln|1| \right) $

Учитывая, что $ \ln|2| = \ln 2 $ и $ \ln|1| = 0 $, упростим выражение:

$ \left( \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 \right) - \left( \frac{3}{\ln 3} - 3 \cdot 0 \right) = \left( \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 \right) - \frac{3}{\ln 3} $

Сгруппируем слагаемые:

$ \frac{9}{\ln 3} - \frac{3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{9-3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{6}{\ln 3} - 3 \ln 2 $

Полученный результат соответствует варианту ответа C.
Ответ: $ \frac{6}{\ln 3} - 3\ln 2 $