Номер 9, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функцияның $y = x^3 - 3\ln x$ өсу және кему аралықтарын анықтау үшін келесі қадамдарды орындаймыз.

1. Функцияның анықталу облысы.

Натурал логарифм $\ln x$ функциясы тек оң мәндер үшін анықталған, сондықтан $x > 0$. Демек, функцияның анықталу облысы $D(y) = (0; +\infty)$ аралығы болады.

2. Функцияның туындысын табу.

Функцияның өсу және кему аралықтарын табу үшін оның бірінші ретті туындысын табамыз:

$y' = (x^3 - 3\ln x)' = (x^3)' - (3\ln x)'$

Дәрежелік функция мен натурал логарифмнің туындысының ережелерін қолданамыз:

$y' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$

Туындыны ортақ бөлімге келтіріп, ықшамдаймыз:

$y' = \frac{3x^3 - 3}{x}$

3. Кризистік нүктелерді анықтау.

Кризистік нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестіреміз ($y' = 0$) немесе туындының анықталмаған нүктелерін іздейміз. Туынды $x=0$ нүктесінде анықталмаған, бірақ бұл нүкте функцияның анықталу облысына кірмейді. Сондықтан тек $y' = 0$ жағдайын қарастырамыз:

$\frac{3x^3 - 3}{x} = 0$

Бөлшектің алымы нөлге тең болуы керек:

$3x^3 - 3 = 0$

$3x^3 = 3$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Кризистік нүкте $x=1$ функцияның анықталу облысы $(0; +\infty)$ ішінде жатыр.

4. Туындының таңбасын аралықтарда зерттеу.

$x=1$ нүктесі анықталу облысын екі аралыққа бөледі: $(0; 1)$ және $(1; +\infty)$. Әр аралықта туындының $y' = \frac{3(x^3-1)}{x}$ таңбасын тексереміз:

— $(0; 1)$ аралығында: Cынақ нүктесі ретінде $x = 0.5$ алайық. Туындының мәні:

$y'(0.5) = \frac{3((0.5)^3 - 1)}{0.5} = \frac{3(0.125 - 1)}{0.5} = \frac{3(-0.875)}{0.5} < 0$

Туынды теріс ($y' < 0$), сондықтан функция $(0; 1)$ аралығында кемиді.

— $(1; +\infty)$ аралығында: Cынақ нүктесі ретінде $x = 2$ алайық. Туындының мәні:

$y'(2) = \frac{3(2^3 - 1)}{2} = \frac{3(8 - 1)}{2} = \frac{3 \cdot 7}{2} = 10.5 > 0$

Туынды оң ($y' > 0$), сондықтан функция $(1; +\infty)$ аралығында өседі.

Қорытынды:

Функция $(0; 1]$ аралығында кемиді және $[1; +\infty)$ аралығында өседі. Бұл В нұсқасына сәйкес келеді.

Ответ: B. $[1; +\infty)$ – өседі, $(0; 1]$ – кемиді;