Номер 11, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 e^x$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производную функции.
Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x^2$ и $v = e^x$. Тогда их производные: $u' = 2x$ и $v' = e^x$.
Производная функции $y$ равна: $y' = (x^2 e^x)' = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x$.

2. Найти критические точки.
Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $2x e^x + x^2 e^x = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $x e^x$: $x e^x (2 + x) = 0$
Поскольку $e^x$ всегда больше нуля, равенство обращается в ноль, только если один из других множителей равен нулю: $x = 0$ или $2 + x = 0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

3. Проверить принадлежность критических точек заданному отрезку.
Заданный отрезок — $[-1; 2]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
Точка $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
Следовательно, для нахождения экстремумов мы будем рассматривать значения функции в точке $x = 0$ и на концах отрезка: $x = -1$ и $x = 2$.

4. Вычислить значения функции в выбранных точках.
Вычислим значения функции $y = x^2 e^x$ в каждой из этих точек:
- При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.
- При $x = 0$: $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.
- При $x = 2$: $y(2) = 2^2 \cdot e^2 = 4e^2$.

5. Сравнить полученные значения.
Мы получили три значения: $0$, $\frac{1}{e}$ и $4e^2$.
Сравнивая их, получаем: $0 < \frac{1}{e} < 4e^2$ (поскольку $e \approx 2.718$).
- Наименьшее значение функции на отрезке: $y_{min} = 0$.
- Наибольшее значение функции на отрезке: $y_{max} = 4e^2$.

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке равны $4e^2$ и $0$ соответственно. Это соответствует варианту D.

Ответ: D. $4e^2; 0$.