Номер 262, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $2^x + 2^{x+1} = 12$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$2^x + 2^x \cdot 2^1 = 12$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 2) = 12$

$2^x \cdot 3 = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^x = \frac{12}{3}$

$2^x = 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^2$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

2) $7^{x+2} - 7^x = 336$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования первого слагаемого:

$7^x \cdot 7^2 - 7^x = 336$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(7^2 - 1) = 336$

Вычислим значение в скобках:

$7^x(49 - 1) = 336$

$7^x \cdot 48 = 336$

Найдем $7^x$, разделив обе части уравнения на 48:

$7^x = \frac{336}{48}$

$7^x = 7$

Представим 7 как $7^1$:

$7^x = 7^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

3) $3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} = 117$

Применим свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ ко второму и третьему слагаемым:

$3^x + 3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^2 = 117$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(1 + 3^1 + 3^2) = 117$

Выполним вычисления в скобках:

$3^x(1 + 3 + 9) = 117$

$3^x \cdot 13 = 117$

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^x = \frac{117}{13}$

$3^x = 9$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$3^x = 3^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

4) $5^{x-2} - 5^{x-1} + 5^x = 21$

Для решения этого уравнения вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{x-2}$. Для этого представим остальные слагаемые через этот множитель, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$5^{x-1} = 5^{(x-2)+1} = 5^{x-2} \cdot 5^1$

$5^x = 5^{(x-2)+2} = 5^{x-2} \cdot 5^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5^{x-2} - 5^{x-2} \cdot 5^1 + 5^{x-2} \cdot 5^2 = 21$

Вынесем $5^{x-2}$ за скобки:

$5^{x-2}(1 - 5^1 + 5^2) = 21$

Вычислим значение в скобках:

$5^{x-2}(1 - 5 + 25) = 21$

$5^{x-2} \cdot 21 = 21$

Разделим обе части на 21:

$5^{x-2} = 1$

Представим 1 как степень с основанием 5, используя свойство $a^0 = 1$:

$5^{x-2} = 5^0$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.