Номер 269, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

269.1) Дана система показательных уравнений:
$ \begin{cases} 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 5^y = 11, \\ 5 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^y = 24. \end{cases} $
Для решения введем новые переменные. Пусть $a = 4^x$ и $b = 5^y$. Так как показательные функции всегда положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.
После замены система примет вид системы линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2a + 3b = 11, \\ 5a + 4b = 24. \end{cases} $
Решим эту систему методом алгебраического сложения (исключения). Умножим первое уравнение на 4, а второе на -3, чтобы исключить переменную $b$:
$ \begin{cases} 4 \cdot (2a + 3b) = 4 \cdot 11, \\ -3 \cdot (5a + 4b) = -3 \cdot 24. \end{cases} $
$ \begin{cases} 8a + 12b = 44, \\ -15a - 12b = -72. \end{cases} $
Теперь сложим два уравнения системы:
$(8a + 12b) + (-15a - 12b) = 44 - 72$
$-7a = -28$
$a = 4$
Подставим найденное значение $a=4$ в первое уравнение исходной линейной системы ($2a + 3b = 11$):
$2(4) + 3b = 11$
$8 + 3b = 11$
$3b = 3$
$b = 1$
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $a = 4^x \Rightarrow 4 = 4^x \Rightarrow x = 1$
2) $b = 5^y \Rightarrow 1 = 5^y \Rightarrow 5^0 = 5^y \Rightarrow y = 0$
Решением системы является пара чисел $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$.

2) Дана система показательных уравнений:
$ \begin{cases} 2^x - 2^y = 1, \\ 2^{3x} - 2^{3y} = 7. \end{cases} $
Используем свойства степеней: $2^{3x} = (2^x)^3$ и $2^{3y} = (2^y)^3$. Введем новые переменные: пусть $u = 2^x$ и $v = 2^y$. Условия для переменных: $u > 0, v > 0$.
Система преобразуется к виду:
$ \begin{cases} u - v = 1, \\ u^3 - v^3 = 7. \end{cases} $
Во втором уравнении применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(u-v)(u^2 + uv + v^2) = 7$
Из первого уравнения системы известно, что $u - v = 1$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:
$1 \cdot (u^2 + uv + v^2) = 7$
$u^2 + uv + v^2 = 7$
Теперь решим систему:
$ \begin{cases} u - v = 1, \\ u^2 + uv + v^2 = 7. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $u = v + 1$ и подставим во второе:
$(v+1)^2 + (v+1)v + v^2 = 7$
$(v^2 + 2v + 1) + (v^2 + v) + v^2 = 7$
$3v^2 + 3v + 1 = 7$
$3v^2 + 3v - 6 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3:
$v^2 + v - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $v$. Его корни можно найти по теореме Виета: $v_1 + v_2 = -1$, $v_1 \cdot v_2 = -2$. Корни: $v_1 = 1$ и $v_2 = -2$.
Рассмотрим два случая:
1) Если $v = 1$. Тогда $u = v + 1 = 1 + 1 = 2$. Пара $(u,v) = (2,1)$ удовлетворяет условиям $u > 0, v > 0$.
2) Если $v = -2$. Это значение не является решением, так как $v = 2^y$ должно быть положительным.
Таким образом, подходит только пара $u = 2, v = 1$.
Выполним обратную замену:
1) $2^x = u \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1$
2) $2^y = v \Rightarrow 2^y = 1 \Rightarrow 2^y = 2^0 \Rightarrow y = 0$
Решением системы является пара чисел $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$.