Номер 276, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^{2x} - 2^y = 725, \\ 3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^{mn} = (a^m)^n$.

$3^{2x} = (3^x)^2$

$2^y = 2^{2 \cdot \frac{y}{2}} = (2^{\frac{y}{2}})^2$

Тогда первое уравнение можно записать в виде разности квадратов:

$(3^x)^2 - (2^{\frac{y}{2}})^2 = 725$

$(3^x - 2^{\frac{y}{2}})(3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 725$

Введем замену переменных для упрощения системы. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^{\frac{y}{2}}$. Так как основания степеней положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} (a - b)(a + b) = 725, \\ a - b = 25. \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$25 \cdot (a + b) = 725$

Разделим обе части на 25:

$a + b = \frac{725}{25} = 29$

Теперь у нас есть простая система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} a - b = 25, \\ a + b = 29. \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 25 + 29$

$2a = 54$

$a = 27$

Подставим значение $a$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b$:

$27 + b = 29$

$b = 29 - 27 = 2$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

$a = 3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3$

$b = 2^{\frac{y}{2}} = 2$

$2^{\frac{y}{2}} = 2^1$

$\frac{y}{2} = 1$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(3; 2)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $3^{2 \cdot 3} - 2^2 = 3^6 - 4 = 729 - 4 = 725$. Верно.

Второе уравнение: $3^3 - 2^{\frac{2}{2}} = 27 - 2^1 = 25$. Верно.

Ответ: $(3; 2)$

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 16^y - 4^x = 12, \\ 2^{x+1} - 4^y = 0. \end{cases} $$

Приведем все степени к основанию 2:

$16^y = (2^4)^y = 2^{4y}$

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

$4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$

Система примет вид:

$$ \begin{cases} 2^{4y} - 2^{2x} = 12, \\ 2^{x+1} - 2^{2y} = 0. \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение:

$2^{x+1} - 2^{2y} = 0$

$2^{x+1} = 2^{2y}$

Так как основания степеней равны, можем приравнять показатели:

$x + 1 = 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y - 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2^{4y} - 2^{2(2y - 1)} = 12$

$2^{4y} - 2^{4y - 2} = 12$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{4y - 2}$:

$2^{4y - 2} \cdot (2^{4y - (4y - 2)} - 1) = 12$

$2^{4y - 2} \cdot (2^2 - 1) = 12$

$2^{4y - 2} \cdot (4 - 1) = 12$

$2^{4y - 2} \cdot 3 = 12$

Разделим обе части на 3:

$2^{4y - 2} = 4$

Представим 4 как степень с основанием 2:

$2^{4y - 2} = 2^2$

Приравняем показатели:

$4y - 2 = 2$

$4y = 4$

$y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 2y - 1$:

$x = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$

Проверим найденное решение $(1; 1)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $16^1 - 4^1 = 16 - 4 = 12$. Верно.

Второе уравнение: $2^{1+1} - 4^1 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Верно.

Ответ: $(1; 1)$