Номер 271, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}} (\frac{1}{3})^x = 1$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.

2. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть уравнения:

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x} + x} = 1$

3. Представим число 1 в правой части как степень с основанием $\frac{1}{3}$, зная, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: $1 = (\frac{1}{3})^0$.

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x} + x} = (\frac{1}{3})^0$

4. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sqrt{x} + x = 0$

5. Решим полученное уравнение. В области допустимых значений ($x \ge 0$), оба слагаемых, $\sqrt{x}$ и $x$, являются неотрицательными. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Следовательно, $x = 0$ и $\sqrt{x} = 0$, что дает единственное решение $x = 0$.

6. Данное решение $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge 0$).

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{6-x} (5^{x^2 - 7,2x + 3,4} - 25) = 0$

Решение:

1. Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.

2. Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$\sqrt{6-x} = 0$

$6 - x = 0$

$x_1 = 6$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($6 \le 6$).

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$5^{x^2 - 7,2x + 3,4} - 25 = 0$

$5^{x^2 - 7,2x + 3,4} = 25$

$5^{x^2 - 7,2x + 3,4} = 5^2$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 7,2x + 3,4 = 2$

$x^2 - 7,2x + 1,4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1,4 = 51,84 - 5,6 = 46,24$

$\sqrt{D} = \sqrt{46,24} = 6,8$

$x_2 = \frac{7,2 + 6,8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_3 = \frac{7,2 - 6,8}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2$

3. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \le 6$).

Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию $7 \le 6$, поэтому это посторонний корень.

Корень $x_3 = 0,2$ удовлетворяет условию $0,2 \le 6$.

4. Объединим все подходящие корни: $x_1=6$ и $x_3=0,2$.

Ответ: $0,2; 6$.

3) $4^{-x+0,5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0$

Решение:

1. Область допустимых значений для данного уравнения — все действительные числа, $x \in R$.

2. Преобразуем уравнение, выразив $4$ через $2$:

$4^{-x+0,5} = (2^2)^{-x+0,5} = 2^{2(-x+0,5)} = 2^{-2x+1} = 2^{-2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^{-x})^2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2 \cdot (2^{-x})^2 - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{-x}$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем ограничение $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

$\sqrt{D} = 9$

$t_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$

5. Сравним полученные значения $t$ с условием $t > 0$.

$t_1 = 4$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -0,5$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень.

6. Выполним обратную замену для $t=4$:

$2^{-x} = 4$

$2^{-x} = 2^2$

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

4) $\sqrt{x+3} (7^{x^2 - 6,5x + 5} - 49) = 0$

Решение:

1. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом определены. Найдем ОДЗ из условия неотрицательности подкоренного выражения:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

2. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$\sqrt{x+3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x_1 = -3$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-3 \ge -3$).

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$7^{x^2 - 6,5x + 5} - 49 = 0$

$7^{x^2 - 6,5x + 5} = 49$

$7^{x^2 - 6,5x + 5} = 7^2$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 6,5x + 5 = 2$

$x^2 - 6,5x + 3 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 2:

$2x^2 - 13x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$

$\sqrt{D} = 11$

$x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$x_3 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

3. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$).

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию ($6 \ge -3$).

Корень $x_3 = 0,5$ удовлетворяет условию ($0,5 \ge -3$).

4. Все три найденных корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-3; 0,5; 6$.