Номер 265, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3 \cdot 2^x + 2 \cdot 3^y = 12, \\ 2^x - 3^y = -1. \end{cases}$

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$. Так как значения показательных функций всегда положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид системы линейных уравнений:

$\begin{cases} 3a + 2b = 12, \\ a - b = -1. \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $a$:

$a = b - 1$

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$3(b - 1) + 2b = 12$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $b$:

$3b - 3 + 2b = 12$

$5b = 15$

$b = 3$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = b - 1$:

$a = 3 - 1 = 2$

Мы получили $a = 2$ и $b = 3$. Оба значения удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$2^x = a \implies 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

$3^y = b \implies 3^y = 3 \implies 3^y = 3^1 \implies y = 1$.

Проверим найденное решение $(1, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 3 \cdot 2^1 + 2 \cdot 3^1 = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12 \\ 2^1 - 3^1 = 2 - 3 = -1 \end{cases}$

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(1, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 32, \\ x - y = 2. \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение системы, приведя все степени к одному основанию 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.

Подставим эти значения в первое уравнение:

$2^x \cdot (2^2)^y = 2^5$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^x \cdot 2^{2y} = 2^5$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{x+2y} = 2^5$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x + 2y = 5$

Теперь исходная система эквивалентна системе линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 5, \\ x - y = 2. \end{cases}$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + 2y) - (x - y) = 5 - 2$

$x + 2y - x + y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ во второе уравнение $x - y = 2$, чтобы найти $x$:

$x - 1 = 2$

$x = 3$

Проверим найденное решение $(3, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 2^3 \cdot 4^1 = 8 \cdot 4 = 32 \\ 3 - 1 = 2 \end{cases}$

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 1)$.