Номер 270, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 648 \\ 3^x \cdot 2^y = 432 \end{cases} $

Для решения этой системы можно перемножить и разделить уравнения друг на друга.

Сначала перемножим два уравнения системы:

$ (2^x \cdot 3^y) \cdot (3^x \cdot 2^y) = 648 \cdot 432 $

$ (2^x \cdot 2^y) \cdot (3^x \cdot 3^y) = 648 \cdot 432 $

$ 2^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 648 \cdot 432 $

$ (2 \cdot 3)^{x+y} = 648 \cdot 432 $

$ 6^{x+y} = 648 \cdot 432 $

Разложим числа 648 и 432 на простые множители:

$ 648 = 8 \cdot 81 = 2^3 \cdot 3^4 $

$ 432 = 16 \cdot 27 = 2^4 \cdot 3^3 $

Тогда их произведение равно:

$ 648 \cdot 432 = (2^3 \cdot 3^4) \cdot (2^4 \cdot 3^3) = 2^{3+4} \cdot 3^{4+3} = 2^7 \cdot 3^7 = (2 \cdot 3)^7 = 6^7 $

Получаем уравнение:

$ 6^{x+y} = 6^7 $

Отсюда следует, что $ x + y = 7 $.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$ \frac{2^x \cdot 3^y}{3^x \cdot 2^y} = \frac{648}{432} $

$ \frac{2^x}{2^y} \cdot \frac{3^y}{3^x} = \frac{2^3 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^3} $

$ 2^{x-y} \cdot 3^{y-x} = \frac{3}{2} $

$ 2^{x-y} \cdot (3^{-1})^{x-y} = \frac{3}{2} $

$ 2^{x-y} \cdot (\frac{1}{3})^{x-y} = \frac{3}{2} $

$ (\frac{2}{3})^{x-y} = \frac{3}{2} $

Так как $ \frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1} $, получаем:

$ (\frac{2}{3})^{x-y} = (\frac{2}{3})^{-1} $

Отсюда следует, что $ x - y = -1 $.

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 7 + (-1) $

$ 2x = 6 $

$ x = 3 $

Подставим значение $x$ в первое уравнение $ x + y = 7 $:

$ 3 + y = 7 $

$ y = 4 $

Ответ: $x=3, y=4$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ y - x = 4 \end{cases} $

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$ y = x + 4 $

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$ 3^x \cdot 2^{x+4} = 576 $

Используя свойство степеней $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $, преобразуем левую часть:

$ 3^x \cdot (2^x \cdot 2^4) = 576 $

$ (3^x \cdot 2^x) \cdot 2^4 = 576 $

Используя свойство $ a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m $:

$ (3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576 $

$ 6^x \cdot 16 = 576 $

Разделим обе части уравнения на 16:

$ 6^x = \frac{576}{16} $

$ 6^x = 36 $

Так как $ 36 = 6^2 $, получаем:

$ 6^x = 6^2 $

Отсюда $ x = 2 $.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в уравнение $ y = x + 4 $:

$ y = 2 + 4 $

$ y = 6 $

Ответ: $x=2, y=6$.