Номер 263, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $3^{2x+1} = 9^{2x}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию 3. Так как $9 = 3^2$, то $9^{2x} = (3^2)^{2x} = 3^{4x}$.
Исходное уравнение принимает вид:
$3^{2x+1} = 3^{4x}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x+1 = 4x$
$1 = 4x - 2x$
$1 = 2x$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}$

2) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0$
Это показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.
Уравнение примет вид:
$2y^2 - 3y - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к замене $y = 2^x$.
1) $2^x = y_1 = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно $x = 1$. Этот корень подходит, так как $y_1=2 > 0$.
2) $2^x = y_2 = -\frac{1}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция $2^x$ не может быть отрицательной.
Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x = 1$

3) $2 \cdot 9^x - 3^{x+1} - 9 = 0$
Преобразуем уравнение, чтобы свести его к квадратному.
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$2 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x - 9 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$2t^2 - 3t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$
$t_1 = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$t_2 = \frac{3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
Вернемся к замене $t = 3^x$.
1) $3^x = t_1 = 3$. Отсюда $3^x = 3^1$, следовательно $x = 1$.
2) $3^x = t_2 = -\frac{3}{2}$. Уравнение не имеет решений, так как $3^x > 0$ для любого $x$.
Ответ: $x = 1$

4) $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 = 0$
Это уравнение также сводится к квадратному. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $z = 5^x$, где $z > 0$.
Уравнение примет вид:
$z^2 - 26z + 25 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 26, а их произведение равно 25. Легко подобрать корни:
$z_1 = 1$
$z_2 = 25$
Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $z > 0$.
Вернемся к замене $z = 5^x$.
1) $5^x = z_1 = 1$. Так как $1 = 5^0$, то $x = 0$.
2) $5^x = z_2 = 25$. Так как $25 = 5^2$, то $x = 2$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = 0; x = 2$