Номер 12, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12. Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{2} (3^x - \frac{3}{x}) dx $ необходимо найти первообразную подынтегральной функции и затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

1.Нахождение первообразной.
Используя свойство линейности, интеграл от разности можно разбить на разность интегралов:

$ \int (3^x - \frac{3}{x}) dx = \int 3^x dx - \int \frac{3}{x} dx $

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя стандартные формулы интегрирования:
- Первообразная для показательной функции $a^x$ вычисляется по формуле $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} $. В нашем случае $a=3$, поэтому: $ \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} $
- Первообразная для функции $ \frac{k}{x} $ вычисляется по формуле $ \int \frac{k}{x} dx = k \ln|x| $. В нашем случае $k=3$, поэтому: $ \int \frac{3}{x} dx = 3 \ln|x| $

Таким образом, первообразная для всей подынтегральной функции $ f(x) = 3^x - \frac{3}{x} $ равна:

$ F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| $

2.Применение формулы Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла имеет вид: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $.
Подставим наши пределы интегрирования $a=1$ и $b=2$:

$ \int_{1}^{2} (3^x - \frac{3}{x}) dx = \left. \left( \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| \right) \right|_{1}^{2} $

Это означает, что нам нужно вычислить разность значений первообразной в точках $x=2$ и $x=1$:

$ F(2) - F(1) = \left( \frac{3^2}{\ln 3} - 3 \ln|2| \right) - \left( \frac{3^1}{\ln 3} - 3 \ln|1| \right) $

Учитывая, что $ \ln|2| = \ln 2 $ и $ \ln|1| = 0 $, упростим выражение:

$ \left( \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 \right) - \left( \frac{3}{\ln 3} - 3 \cdot 0 \right) = \left( \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 \right) - \frac{3}{\ln 3} $

Сгруппируем слагаемые:

$ \frac{9}{\ln 3} - \frac{3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{9-3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{6}{\ln 3} - 3 \ln 2 $

Полученный результат соответствует варианту ответа C.
Ответ: $ \frac{6}{\ln 3} - 3\ln 2 $