Номер 10, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения точек экстремума функции $y = 0,5x^2 - 6x + 2\ln x^4$ необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и исследовать знак производной в окрестности найденных критических точек.

1. Определение области определения функции

Функция содержит логарифмический член $2\ln x^4$. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$x^4 > 0$
Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и нахождение производной

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$, важно учесть область определения. Так как $x^4 = (|x|)^4$, то $\ln x^4 = 4\ln|x|$.
Функция принимает вид: $y = 0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|$.
Теперь найдем первую производную $y'$:
$y' = (0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|)' = (0,5x^2)' - (6x)' + (8\ln|x|)'$
Учитывая, что производная от $\ln|x|$ равна $\frac{1}{x}$, получаем:
$y' = 0,5 \cdot 2x - 6 + 8 \cdot \frac{1}{x} = x - 6 + \frac{8}{x}$

3. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y'$ существует на всей области определения функции $y$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$y' = 0 \implies x - 6 + \frac{8}{x} = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - 6x + 8}{x} = 0$
Поскольку $x \ne 0$, числитель должен быть равен нулю:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корни уравнения:
$x_1 = 2$
$x_2 = 4$
Обе точки ($x=2$ и $x=4$) принадлежат области определения функции и являются критическими точками.

4. Определение характера экстремумов

Для определения типа экстремума (максимум или минимум) исследуем знак производной $y' = \frac{x^2 - 6x + 8}{x} = \frac{(x-2)(x-4)}{x}$ на интервалах, на которые критические точки и точка разрыва $x=0$ делят область определения.
Рассмотрим интервалы, содержащие наши критические точки:
- На интервале $(0, 2)$, выберем пробную точку $x=1$. $y'(1) = \frac{(1-2)(1-4)}{1} = 3 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(2, 4)$, выберем пробную точку $x=3$. $y'(3) = \frac{(3-2)(3-4)}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. Функция убывает.
Поскольку в точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «−», то $x=2$ является точкой локального максимума. Следовательно, $x_{max} = 2$.
- На интервале $(4, +\infty)$, выберем пробную точку $x=5$. $y'(5) = \frac{(5-2)(5-4)}{5} = \frac{3}{5} > 0$. Функция возрастает.
Поскольку в точке $x=4$ производная меняет знак с «−» на «+», то $x=4$ является точкой локального минимума. Следовательно, $x_{min} = 4$.
Таким образом, функция имеет точку максимума $x=2$ и точку минимума $x=4$.
Ответ: C. $x_{max} = 2, x_{min} = 4$