Номер 279, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана система показательных неравенств: $ \begin{cases} 5^x > 25, \\ (\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27} \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$5^x > 25$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Так как $25 = 5^2$, получаем:

$5^x > 5^2$

Поскольку основание $5 > 1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x > 2$

Решение первого неравенства: $x \in (2, +\infty)$.

Второе неравенство:

$(\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$, получаем:

$(\frac{1}{3})^{x-8} < (\frac{1}{3})^3$

Поскольку основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 8 > 3$

$x > 11$

Решение второго неравенства: $x \in (11, +\infty)$.

Решение системы:

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $(2, +\infty) \cap (11, +\infty)$.

Чтобы найти пересечение, нужно выбрать числа, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 2$ и $x > 11$. Условие $x > 11$ является более строгим и включает в себя условие $x > 2$. Следовательно, пересечением является интервал $(11, +\infty)$.

Ответ: $x \in (11, +\infty)$.

2) Дана система показательных неравенств: $ \begin{cases} 8 > (\frac{1}{2})^{6-x}, \\ 3^{4x} > 81 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$8 > (\frac{1}{2})^{6-x}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $(\frac{1}{2})^{6-x} = (2^{-1})^{6-x} = 2^{-(6-x)} = 2^{x-6}$.

Неравенство принимает вид:

$2^3 > 2^{x-6}$

Поскольку основание $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$3 > x - 6$

$3 + 6 > x$

$9 > x$, или $x < 9$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 9)$.

Второе неравенство:

$3^{4x} > 81$

Приведем обе части к основанию 3. Так как $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$, получаем:

$3^{4x} > 3^4$

Поскольку основание $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$4x > 4$

Разделим обе части на 4:

$x > 1$

Решение второго неравенства: $x \in (1, +\infty)$.

Решение системы:

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty, 9) \cap (1, +\infty)$.

Это означает, что мы ищем все числа $x$, которые одновременно больше 1 и меньше 9. Это соответствует двойному неравенству $1 < x < 9$.

Ответ: $x \in (1, 9)$.