Номер 244, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = 2\ln x + x^{-2}$

1. Найдём область определения функции. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Выражение $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определено для всех $x \neq 0$. Совмещая эти условия, получаем область определения функции: $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (2\ln x + x^{-2})' = 2 \cdot \frac{1}{x} - 2x^{-3} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^3}$. Приводя к общему знаменателю, получаем $f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{x^3}$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
$\frac{2x^2 - 2}{x^3} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. $2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1$. Корни этого уравнения: $x=1$ и $x=-1$. Учитывая область определения $x > 0$, единственной критической точкой является $x=1$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.
- На интервале $(0, 1)$, например при $x=0.5$, имеем $f'(0.5) = \frac{2(0.5^2 - 1)}{0.5^3} < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$, имеем $f'(2) = \frac{2(2^2 - 1)}{2^3} > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $(1, +\infty)$; промежуток убывания: $(0, 1)$.

2) $f(x) = x^2 \cdot e^x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как функции $x^2$ и $e^x$ определены для любого действительного $x$.

2. Найдём производную, используя правило дифференцирования произведения: $f'(x) = (x^2 \cdot e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x = x(x+2)e^x$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$: $x(x+2)e^x = 0$. Так как множитель $e^x$ всегда положителен, то $x(x+2) = 0$. Отсюда критические точки: $x=0$ и $x=-2$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $x(x+2)$.
- На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x=-3$, $f'(-3) = (-3)(-3+2)e^{-3} > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-2, 0)$, например при $x=-1$, $f'(-1) = (-1)(-1+2)e^{-1} < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, +\infty)$, например при $x=1$, $f'(1) = 1(1+2)e^1 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-2, 0)$.

3) $f(x) = x^3 \cdot e^{-3x}$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную по правилу произведения: $f'(x) = (x^3 \cdot e^{-3x})' = (x^3)'e^{-3x} + x^3(e^{-3x})' = 3x^2e^{-3x} + x^3(-3e^{-3x}) = (3x^2 - 3x^3)e^{-3x} = 3x^2(1-x)e^{-3x}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$: $3x^2(1-x)e^{-3x} = 0$. Так как $e^{-3x} > 0$, то $3x^2(1-x) = 0$. Критические точки: $x=0$ и $x=1$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака выражения $x^2(1-x)$, так как $3>0$, $e^{-3x}>0$ и $x^2 \ge 0$.
- На интервале $(-\infty, 0)$, например при $x=-1$, $f'(-1) = 3(-1)^2(1-(-1))e^{3} > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(0, 1)$, например при $x=0.5$, $f'(0.5) = 3(0.5)^2(1-0.5)e^{-1.5} > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$, $f'(2) = 3(2)^2(1-2)e^{-6} < 0$. Функция убывает.
Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$, интервалы возрастания можно объединить.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1)$; промежуток убывания: $(1, +\infty)$.

4) $f(x) = x^3 - 3\ln(2x)$

1. Найдём область определения. Аргумент логарифма должен быть положительным: $2x > 0$, что означает $x > 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3\ln(2x))' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{2x} = 3x^2 - \frac{3}{x} = \frac{3x^3 - 3}{x}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$: $\frac{3x^3 - 3}{x} = 0$. Это уравнение равносильно $3x^3 - 3 = 0$ при $x \neq 0$. Решая, получаем $x^3 = 1$, откуда $x=1$. Эта точка принадлежит области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. В области определения $x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $3(x^3-1)$.
- На интервале $(0, 1)$, например при $x=0.5$, выражение $x^3-1$ отрицательно, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$, выражение $x^3-1$ положительно, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $(1, +\infty)$; промежуток убывания: $(0, 1)$.