Номер 251, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Для функции $f(x) = \ln(2x) + x^{-1}$ в точке $x_0 = 0,5$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0,5) = \ln(2 \cdot 0,5) + (0,5)^{-1} = \ln(1) + \frac{1}{0,5} = 0 + 2 = 2$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (\ln(2x) + x^{-1})' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' + (-1) \cdot x^{-2} = \frac{2}{2x} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0,5) = \frac{1}{0,5} - \frac{1}{(0,5)^2} = 2 - \frac{1}{0,25} = 2 - 4 = -2$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = 2 + (-2)(x - 0,5)$
$y = 2 - 2x + 1$
$y = -2x + 3$.
Ответ: $y = -2x + 3$

2) Для функции $f(x) = e^{1+2x} - 4x^3$ в точке $x_0 = -0,5$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-0,5) = e^{1+2(-0,5)} - 4(-0,5)^3 = e^{1-1} - 4(-0,125) = e^0 + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (e^{1+2x} - 4x^3)' = e^{1+2x} \cdot (1+2x)' - 12x^2 = 2e^{1+2x} - 12x^2$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-0,5) = 2e^{1+2(-0,5)} - 12(-0,5)^2 = 2e^0 - 12(0,25) = 2 - 3 = -1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 1,5 + (-1)(x - (-0,5))$
$y = 1,5 - (x + 0,5)$
$y = 1,5 - x - 0,5$
$y = -x + 1$.
Ответ: $y = -x + 1$

3) Для функции $f(x) = \ln(-0,5x) - x^2$ в точке $x_0 = -2$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-2) = \ln(-0,5 \cdot (-2)) - (-2)^2 = \ln(1) - 4 = 0 - 4 = -4$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (\ln(-0,5x) - x^2)' = \frac{1}{-0,5x} \cdot (-0,5) - 2x = \frac{1}{x} - 2x$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-2) = \frac{1}{-2} - 2(-2) = -0,5 + 4 = 3,5$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = -4 + 3,5(x - (-2))$
$y = -4 + 3,5(x + 2)$
$y = -4 + 3,5x + 7$
$y = 3,5x + 3$.
Ответ: $y = 3,5x + 3$

4) Для функции $f(x) = e^{1-2x} - x^{-2}$ в точке $x_0 = 0,5$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0,5) = e^{1-2(0,5)} - (0,5)^{-2} = e^{1-1} - (\frac{1}{0,5})^2 = e^0 - 2^2 = 1 - 4 = -3$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (e^{1-2x} - x^{-2})' = e^{1-2x} \cdot (1-2x)' - (-2)x^{-3} = -2e^{1-2x} + 2x^{-3} = -2e^{1-2x} + \frac{2}{x^3}$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0,5) = -2e^{1-2(0,5)} + \frac{2}{(0,5)^3} = -2e^0 + \frac{2}{0,125} = -2 \cdot 1 + 16 = 14$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = -3 + 14(x - 0,5)$
$y = -3 + 14x - 7$
$y = 14x - 10$.
Ответ: $y = 14x - 10$