Номер 254, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Заметим, что область определения функции $f(x) = e^{1-x} + \ln(-e^x)$ является пустой для действительных чисел $x$. Это связано с тем, что выражение под знаком натурального логарифма должно быть положительным, однако $-e^x < 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, функция не определена, и найти ее производную невозможно.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Учитывая вид второй задачи, в которой используется $\ln(-x)$, можно предположить, что правильная функция должна была иметь вид $f(x) = e^{1-x} + \ln(-x)$. Решим задачу для этой функции.

Область определения функции $f(x) = e^{1-x} + \ln(-x)$ задается условием $-x > 0$, то есть $x < 0$. Точка $x=-1$ входит в область определения.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правила дифференцирования суммы и сложной функции:

$f'(x) = (e^{1-x} + \ln(-x))' = (e^{1-x})' + (\ln(-x))'$

$(e^{1-x})' = e^{1-x} \cdot (1-x)' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}$

$(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = -e^{1-x} + \frac{1}{x}$

Теперь найдем значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = -e^{1-(-1)} + \frac{1}{-1} = -e^{2} - 1$

Ответ: при условии, что функция имела вид $f(x) = e^{1-x} + \ln(-x)$, значение производной $f'(-1) = -e^2 - 1$.

2)

Дана функция $f(x) = e^{1+2x}\ln(-x)$. Необходимо сравнить значение ее производной в точке $x = -0,5$ с нулем.

Область определения функции задается условием $-x > 0$, что означает $x < 0$. Точка $x=-0,5$ принадлежит области определения.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

Пусть $u(x) = e^{1+2x}$ и $v(x) = \ln(-x)$.

$u'(x) = (e^{1+2x})' = e^{1+2x} \cdot (1+2x)' = 2e^{1+2x}$

$v'(x) = (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$

Производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = u'v + uv' = 2e^{1+2x}\ln(-x) + e^{1+2x} \cdot \frac{1}{x} = e^{1+2x}(2\ln(-x) + \frac{1}{x})$

Вычислим значение производной в точке $x = -0,5$:

$f'(-0,5) = e^{1+2(-0,5)}(2\ln(-(-0,5)) + \frac{1}{-0,5})$

$f'(-0,5) = e^{1-1}(2\ln(0,5) - 2) = e^0(2\ln(0,5) - 2) = 1 \cdot (2\ln(0,5) - 2) = 2\ln(0,5) - 2$

Теперь сравним полученное значение с нулем. Мы знаем, что основание натурального логарифма $e \approx 2,718$. Для любого числа $a$ из интервала $(0, 1)$ значение $\ln(a)$ является отрицательным. Поскольку $0,5 \in (0, 1)$, то $\ln(0,5) < 0$.

Следовательно, $2\ln(0,5)$ также является отрицательным числом.

Выражение $2\ln(0,5) - 2$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел (так как $-2$ тоже отрицательное), что всегда дает в результате отрицательное число.

Таким образом, $f'(-0,5) = 2\ln(0,5) - 2 < 0$.

Ответ: $f'(-0,5) < 0$.