Номер 257, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функция: $y = x + 2\ln x$.

Алдымен, функцияның анықталу облысын табамыз. Натурал логарифм $\ln x$ тек оң аргументтер үшін анықталған, сондықтан $x > 0$. Демек, функцияның анықталу облысы: $D(y) = (0; +\infty)$.

Енді функцияның туындысын табамыз. Қосындының туындысы және тұрақты көбейткіштің туындысы ережелерін қолданамыз:

$y' = (x + 2\ln x)' = (x)' + (2\ln x)' = 1 + 2 \cdot (\ln x)' = 1 + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 + \frac{2}{x}$.

Туындыны ортақ бөлімге келтіреміз:

$y' = \frac{x+2}{x}$.

Енді туындының таңбасын әр жағдай үшін анықтаймыз, $x > 0$ екенін ескере отырып.

1) нөлге тең:

Туындының нөлге тең болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' = 0$ теңдеуін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} = 0$

Бөлшек нөлге тең болуы үшін оның алымы нөлге тең, ал бөлімі нөлге тең болмауы керек.

$x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Алынған $x = -2$ мәні функцияның анықталу облысына ($x>0$) кірмейді. Сондықтан, туынды нөлге тең болатын $x$ мәндері жоқ.

Ответ: шешімі жоқ.

2) оң:

Туындының оң болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' > 0$ теңсіздігін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} > 0$

Функцияның анықталу облысы $x > 0$ болғандықтан, $x$ (бөлімі) әрқашан оң. Сонымен қатар, егер $x > 0$ болса, онда $x+2$ (алымы) да әрқашан оң болады ($x+2 > 0+2=2$).

Оң санды оң санға бөлгенде нәтиже әрқашан оң болады. Демек, туынды $y'$ функцияның барлық анықталу облысында оң болады.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) теріс:

Туындының теріс болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' < 0$ теңсіздігін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} < 0$

2-пунктте көрсетілгендей, $x > 0$ болғанда $x$ және $x+2$ екеуі де оң. Екі оң санның қатынасы теріс бола алмайды. Сондықтан, бұл теңсіздіктің функцияның анықталу облысында шешімі жоқ.

Ответ: шешімі жоқ.

4) теріс емес:

Туындының теріс емес болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' \ge 0$ теңсіздігін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} \ge 0$

Бұл жағдай $y' > 0$ және $y' = 0$ жағдайларын біріктіреді.

1-пункттен біз $y' = 0$ теңдеуінің шешімі жоқ екенін білеміз.

2-пункттен біз $y' > 0$ теңсіздігінің шешімі $x \in (0; +\infty)$ екенін білеміз.

Осы екі жағдайды біріктірсек, туындының теріс емес болатын мәндерінің жиыны $x \in (0; +\infty)$ болады.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.