Номер 255, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Функцияның өспелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын тауып, таңбасын зерттейміз. Егер $y' > 0$ болса, онда функция өспелі болады.

Берілген функция: $y = 0,4^{1-5x}$. Бұл көрсеткіштік функция.

Күрделі функцияның туындысын табу ережесін $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$ қолданамыз:

$y' = (0,4^{1-5x})' = 0,4^{1-5x} \cdot \ln(0,4) \cdot (1-5x)' = 0,4^{1-5x} \cdot \ln(0,4) \cdot (-5)$.

Енді туындының таңбасын анықтайық:

- $0,4^{1-5x}$ — көрсеткіштік функция болғандықтан, оның мәні әрқашан оң: $0,4^{1-5x} > 0$.

- $\ln(0,4)$ — логарифм негізі $0 < 0,4 < 1$ аралығында болғандықтан, оның мәні теріс: $\ln(0,4) < 0$.

- $(-5)$ — теріс сан.

Осылайша, туынды үш көбейткіштен тұрады: $y' = (\text{оң}) \cdot (\text{теріс}) \cdot (\text{теріс})$. Екі теріс санның көбейтіндісі оң сан беретіндіктен, $y' > 0$ болады.

Туынды $x$-тің кез келген мәнінде оң болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында өседі.

Ответ: Функцияның туындысы $y' = -5 \ln(0,4) \cdot 0,4^{1-5x}$ кез келген нақты $x$ үшін оң, себебі $\ln(0,4) < 0$. Сондықтан $y = 0,4^{1-5x}$ функциясы барлық нақты сандар жиынында өседі.

2) Функцияның кемімелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын тауып, таңбасын зерттейміз. Егер $f'(x) < 0$ болса, онда функция кемімелі болады.

Берілген функция: $f(x) = 21^{1-2x}$.

Туындысын табамыз:

$f'(x) = (21^{1-2x})' = 21^{1-2x} \cdot \ln(21) \cdot (1-2x)' = 21^{1-2x} \cdot \ln(21) \cdot (-2)$.

Туындының таңбасын анықтайық:

- $21^{1-2x} > 0$ (көрсеткіштік функцияның мәні әрқашан оң).

- $\ln(21) > 0$ (логарифм негізі $21 > 1$ болғандықтан).

- $(-2) < 0$ (теріс сан).

Туындының таңбасы: $f'(x) = (\text{оң}) \cdot (\text{оң}) \cdot (\text{теріс})$. Көбейтіндінің нәтижесі теріс болады, яғни $f'(x) < 0$.

Туынды $x$-тің кез келген мәнінде теріс болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында кемиді.

Ответ: Функцияның туындысы $f'(x) = -2 \ln(21) \cdot 21^{1-2x}$ кез келген нақты $x$ үшін теріс, себебі $\ln(21) > 0$. Сондықтан $f(x) = 21^{1-2x}$ функциясы барлық нақты сандар жиынында кемиді.

3) Функцияның өспелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын табамыз.

Берілген функция: $\varphi(x) = x^3 + e^2 + 3x$. Мұндағы $e^2$ — тұрақты сан.

Туындысын табамыз:

$\varphi'(x) = (x^3 + e^2 + 3x)' = (x^3)' + (e^2)' + (3x)' = 3x^2 + 0 + 3 = 3x^2 + 3$.

Туындының таңбасын зерттейік. $x$-тің кез келген нақты мәнінде $x^2 \geq 0$. Сондықтан $3x^2 \geq 0$.

Демек, $3x^2 + 3 \geq 0 + 3$, яғни $\varphi'(x) \geq 3$.

Туынды $x$-тің кез келген мәнінде оң ($\varphi'(x) > 0$) болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында өседі.

Ответ: Функцияның туындысы $\varphi'(x) = 3x^2 + 3$ кез келген нақты $x$ үшін оң мән қабылдайды ($3x^2+3 \geq 3$). Сондықтан $\varphi(x) = x^3 + e^2 + 3x$ функциясы барлық нақты сандар жиынында өседі.

4) Функцияның кемімелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын табамыз.

Берілген функция: $h(x) = e^{-x} - x^5$.

Туындысын табамыз:

$h'(x) = (e^{-x} - x^5)' = (e^{-x})' - (x^5)' = -e^{-x} - 5x^4$.

Туындының таңбасын зерттейік:

- $e^{-x}$ өрнегі $x$-тің кез келген мәнінде оң, сондықтан $-e^{-x}$ мүшесі әрқашан теріс: $-e^{-x} < 0$.

- $x^4$ өрнегі жұп дәреже болғандықтан, теріс емес: $x^4 \geq 0$. Сондықтан $-5x^4$ мүшесі оң емес: $-5x^4 \leq 0$.

$h'(x) = -e^{-x} - 5x^4$ туындысы теріс сан ($-e^{-x}$) мен оң емес санның ($-5x^4$) қосындысы болып табылады. Мұндай қосынды әрқашан теріс болады. Мысалы, егер $x=0$ болса, $h'(0) = -e^0 - 5(0)^4 = -1 < 0$. Егер $x \neq 0$ болса, $-e^{-x}$ теріс және $-5x^4$ теріс, олардың қосындысы да теріс болады.

Сонымен, кез келген нақты $x$ үшін $h'(x) < 0$. Туынды теріс болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында кемиді.

Ответ: Функцияның туындысы $h'(x) = -e^{-x} - 5x^4$ кез келген нақты $x$ үшін теріс, себебі ол теріс және оң емес қосылғыштардан тұрады. Сондықтан $h(x) = e^{-x} - x^5$ функциясы барлық нақты сандар жиынында кемиді.