Номер 258, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген $f(x) = x^2 - 2\ln x$ функциясының $[2; e^2]$ аралығындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін келесі қадамдарды орындаймыз.

1. Функцияның туындысын тауып, кризистік нүктелерді анықтаймыз

Функцияның анықталу облысы $\ln x$ болуына байланысты $x>0$.

Функцияның туындысын табамыз:

$f'(x) = (x^2 - 2\ln x)' = (x^2)' - (2\ln x)' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = 2x - \frac{2}{x}$.

Туындыны ортақ бөлімге келтіреміз:

$f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}$.

Кризистік нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестіреміз: $f'(x) = 0$.

$\frac{2(x-1)(x+1)}{x} = 0$.

Бұл теңдеудің шешімдері: $x-1=0 \implies x=1$ және $x+1=0 \implies x=-1$.

Анықталу облысы $x>0$ болғандықтан, тек $x=1$ кризистік нүктесін қарастырамыз.

2. Кризистік нүктенің берілген аралыққа тиістілігін тексереміз

Табылған кризистік нүкте $x=1$ берілген $[2; e^2]$ аралығына кірмейді, себебі $1 < 2$.

Бұл жағдайда функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері осы аралықтың шеткі нүктелерінде болады. Функцияның монотондылығын анықтау үшін $[2; e^2]$ аралығында туындының таңбасын тексереміз. Осы аралықтан кез келген нүктені алайық, мысалы $x=2$:

$f'(2) = 2(2) - \frac{2}{2} = 4 - 1 = 3 > 0$.

Туынды $[2; e^2]$ аралығында оң болғандықтан, $f(x)$ функциясы осы аралықта қатаң өспелі болады.

3. Аралықтың шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндерін есептейміз

Функция өспелі болғандықтан, оның ең кіші мәні аралықтың сол жақ шетінде ($x=2$), ал ең үлкен мәні оң жақ шетінде ($x=e^2$) болады.

a) $x=2$ нүктесіндегі мән (ең кіші мән):

$f(2) = 2^2 - 2\ln 2 = 4 - 2\ln 2$.

b) $x=e^2$ нүктесіндегі мән (ең үлкен мән):

$f(e^2) = (e^2)^2 - 2\ln(e^2) = e^4 - 2 \cdot (2\ln e) = e^4 - 4 \cdot 1 = e^4 - 4$.

Сонымен, функцияның ең кіші мәні $4 - 2\ln 2$, ал ең үлкен мәні $e^4 - 4$.

Ответ: ең кіші мәні $4 - 2\ln 2$, ең үлкен мәні $e^4 - 4$.