Номер 253, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Фигура ограничена кривыми: $y = \frac{1}{x}$, $y = 4$, $x = 1$ и $x = e$. Для нахождения площади этой фигуры необходимо вычислить определённый интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая — нижней границей на отрезке $[1, e]$. На этом отрезке функция $y = \frac{1}{x}$ принимает значения от $1$ (при $x=1$) до $\frac{1}{e}$ (при $x=e$). Оба эти значения меньше 4, поэтому линия $y=4$ является верхней границей, а кривая $y = \frac{1}{x}$ — нижней. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле площади криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми: $S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{ниж}(x)) dx$
В нашем случае $a=1$, $b=e$, $y_{верх}(x) = 4$ и $y_{ниж}(x) = \frac{1}{x}$.
$S = \int_{1}^{e} (4 - \frac{1}{x}) dx$
Найдём первообразную для подынтегральной функции:
$\int (4 - \frac{1}{x}) dx = 4x - \ln|x|$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = [4x - \ln|x|]_{1}^{e} = (4e - \ln|e|) - (4 \cdot 1 - \ln|1|)$
Так как на отрезке $[1, e]$ переменная $x > 0$, то $|x|=x$. Учитывая, что $\ln(e) = 1$ и $\ln(1) = 0$, получаем:
$S = (4e - 1) - (4 - 0) = 4e - 1 - 4 = 4e - 5$

Ответ: $4e - 5$

2) Фигура ограничена кривыми: $y = 1 + e^x$, $y = 3$, $x = -4$ и $x = 0$. Найдём площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Область интегрирования задана вертикальными линиями $x=-4$ и $x=0$. На этом отрезке $[-4, 0]$ нам нужно сравнить функции $y = 1 + e^x$ и $y=3$. Функция $y = 1 + e^x$ является возрастающей. Её значение при $x = -4$ равно $1 + e^{-4}$, а при $x=0$ равно $1 + e^0 = 2$. Максимальное значение функции на этом отрезке равно 2, что меньше 3. Следовательно, линия $y=3$ является верхней границей, а кривая $y = 1 + e^x$ — нижней. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{ниж}(x)) dx$
В нашем случае $a=-4$, $b=0$, $y_{верх}(x) = 3$ и $y_{ниж}(x) = 1 + e^x$.
$S = \int_{-4}^{0} (3 - (1 + e^x)) dx = \int_{-4}^{0} (2 - e^x) dx$
Найдём первообразную для подынтегральной функции:
$\int (2 - e^x) dx = 2x - e^x$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = [2x - e^x]_{-4}^{0} = (2 \cdot 0 - e^0) - (2 \cdot (-4) - e^{-4})$
Учитывая, что $e^0=1$, получаем:
$S = (0 - 1) - (-8 - e^{-4}) = -1 - (-8 - e^{-4}) = -1 + 8 + e^{-4} = 7 + e^{-4}$

Ответ: $7 + e^{-4}$