Номер 259, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Нахождение уравнения касательной

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$, используется формула: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = e^{2x}$, а точка касания — $(0; 1)$. Убедимся, что точка принадлежит графику: при $x=0$, $y = e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент касательной: $f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь подставим найденные значения в формулу уравнения касательной: $y - 1 = 2(x - 0)$ $y = 2x + 1$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = e^{2x}$ в точке $(0; 1)$ есть $y = 2x + 1$.

2. Определение площади фигуры

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена тремя линиями:

• графиком функции $y_1 = e^{2x}$
• касательной $y_2 = 2x + 1$
• вертикальной прямой $x = 1$

Площадь $S$ фигуры, заключенной между двумя кривыми $y_{верх}(x)$ и $y_{нижн}(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{нижн}(x)) dx$

Для определения, какая из функций, $y_1 = e^{2x}$ или $y_2 = 2x + 1$, является верхней на отрезке $[0, 1]$, сравним их значения. Функция $f(x)=e^{2x}$ является выпуклой вниз (так как ее вторая производная $f''(x) = 4e^{2x} > 0$ для всех $x$), поэтому ее график лежит выше любой своей касательной, кроме точки касания. Следовательно, на интервале $(0, 1]$ выполняется неравенство $e^{2x} > 2x + 1$.

Таким образом, $y_{верх}(x) = e^{2x}$ и $y_{нижн}(x) = 2x + 1$.

Искомая площадь вычисляется как интеграл: $S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - (2x + 1)) dx = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2x - 1) dx$

3. Вычисление интеграла

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2x - 1) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{2x^2}{2} - x \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - x^2 - x \right]_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - 1^2 - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - 0^2 - 0 \right)$

$S = \left( \frac{e^2}{2} - 1 - 1 \right) - \left( \frac{e^0}{2} - 0 \right)$

$S = \left( \frac{e^2}{2} - 2 \right) - \frac{1}{2}$

$S = \frac{e^2}{2} - \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 5}{2}$

Ответ: $S = \frac{e^2 - 5}{2}$.