Номер 249, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция: $f(x) = \frac{x^2}{0,5^{1-2x}}$.

Для нахождения производной $f'(x)$ сначала упростим выражение для функции $f(x)$. Учитывая, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:

$f(x) = \frac{x^2}{(2^{-1})^{1-2x}} = \frac{x^2}{2^{-(1-2x)}} = x^2 \cdot 2^{1-2x}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = 2^{1-2x}$.

Тогда их производные:

$u'(x) = 2x$

$v'(x) = (2^{1-2x})' = 2^{1-2x} \cdot \ln(2) \cdot (1-2x)' = -2 \ln(2) \cdot 2^{1-2x}$

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot 2^{1-2x} + x^2 \cdot (2^{1-2x})' = 2x \cdot 2^{1-2x} + x^2 \cdot (-2 \ln(2) \cdot 2^{1-2x})$.

Вынесем общий множитель $2x \cdot 2^{1-2x}$ за скобки:

$f'(x) = 2x \cdot 2^{1-2x} (1 - x \ln(2))$

Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = 2(1) \cdot 2^{1-2(1)} (1 - 1 \cdot \ln(2)) = 2 \cdot 2^{-1} (1 - \ln(2)) = 1 \cdot (1 - \ln(2)) = 1 - \ln(2)$.

Ответ: $1 - \ln(2)$.

2) Дана функция: $f(x) = \frac{3^{1-2x}}{x^{-4}}$.

Упростим выражение для функции:

$f(x) = x^4 \cdot 3^{1-2x}$

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^4$ и $v(x) = 3^{1-2x}$.

Их производные:

$u'(x) = 4x^3$

$v'(x) = (3^{1-2x})' = 3^{1-2x} \cdot \ln(3) \cdot (1-2x)' = -2 \ln(3) \cdot 3^{1-2x}$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = (x^4)' \cdot 3^{1-2x} + x^4 \cdot (3^{1-2x})' = 4x^3 \cdot 3^{1-2x} + x^4 \cdot (-2 \ln(3) \cdot 3^{1-2x})$.

Вынесем общий множитель $x^3 \cdot 3^{1-2x}$ за скобки:

$f'(x) = x^3 \cdot 3^{1-2x} (4 - 2x \ln(3))$

Вычислим значение производной в точке $x=2$:

$f'(2) = 2^3 \cdot 3^{1-2(2)} (4 - 2(2) \ln(3)) = 8 \cdot 3^{-3} (4 - 4 \ln(3)) = 8 \cdot \frac{1}{27} \cdot 4(1 - \ln(3)) = \frac{32}{27}(1 - \ln(3))$.

Ответ: $\frac{32}{27}(1 - \ln(3))$.

3) Дана функция: $f(x) = \ln(1,5 - x) - e^{x-1}$.

Найдем производную функции как разность производных: $(u-v)' = u' - v'$.

Производная первого слагаемого (используя правило для сложной функции):

$(\ln(1,5-x))' = \frac{1}{1,5-x} \cdot (1,5-x)' = \frac{1}{1,5-x} \cdot (-1) = \frac{-1}{1,5-x}$.

Производная второго слагаемого:

$(e^{x-1})' = e^{x-1} \cdot (x-1)' = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = \frac{-1}{1,5 - x} - e^{x-1}$.

Вычислим значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = \frac{-1}{1,5 - 1} - e^{1-1} = \frac{-1}{0,5} - e^0 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: $-3$.

4) Дана функция: $f(x) = \ln(2 - 3x) + x$.

Найдем производную функции как сумму производных: $(u+v)' = u' + v'$.

Производная первого слагаемого:

$(\ln(2 - 3x))' = \frac{1}{2 - 3x} \cdot (2 - 3x)' = \frac{1}{2 - 3x} \cdot (-3) = \frac{-3}{2 - 3x}$.

Производная второго слагаемого:

$(x)' = 1$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = \frac{-3}{2 - 3x} + 1$.

Найдем значение производной в точке $x=\frac{1}{3}$:

$f'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{-3}{2 - 3 \cdot \frac{1}{3}} + 1 = \frac{-3}{2 - 1} + 1 = \frac{-3}{1} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Теперь сравним полученное значение с нулем:

$-2 < 0$.

Следовательно, значение $f'\left(\frac{1}{3}\right)$ меньше нуля.

Ответ: $f'\left(\frac{1}{3}\right) = -2$, это значение меньше нуля.