Номер 245, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы доказать, что функция является убывающей на некотором интервале, необходимо найти её производную и показать, что она отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех значений $x$ из этого интервала.

Найдем производную функции $f(x) = x \ln x$, используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = \ln x + 1$ на заданном интервале $(0; \frac{1}{e})$.

Если $x$ принадлежит интервалу $(0; \frac{1}{e})$, то выполняется неравенство $0 < x < \frac{1}{e}$.

Функция натурального логарифма $y = \ln x$ является возрастающей. Поэтому, если $x < \frac{1}{e}$, то $\ln x < \ln(\frac{1}{e})$.

Зная, что $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -1$, получаем, что для любого $x$ из данного интервала $\ln x < -1$.

Отсюда следует, что $\ln x + 1 < -1 + 1$, то есть $\ln x + 1 < 0$.

Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всем интервале $(0; \frac{1}{e})$.

Ответ: Доказано, что $f'(x) < 0$ на интервале $(0; \frac{1}{e})$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Сначала определим область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0,5$.

Область определения функции — $(0,5; +\infty)$. Заданный для анализа интервал $(0,5; 1,5)$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции $f(x) = x - \ln(2x - 1)$:

$f'(x) = (x)' - (\ln(2x-1))' = 1 - \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' = 1 - \frac{2}{2x-1}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{(2x-1) - 2}{2x-1} = \frac{2x-3}{2x-1}$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x)$ на интервале $(0,5; 1,5)$.

Проанализируем знак числителя и знаменателя дроби на этом интервале.

1. Знаменатель: $2x-1$. Поскольку на интервале $(0,5; 1,5)$ всегда выполняется $x > 0,5$, то $2x > 1$, и, следовательно, $2x-1 > 0$. Знаменатель всегда положителен.

2. Числитель: $2x-3$. Поскольку на интервале $(0,5; 1,5)$ всегда выполняется $x < 1,5$, то $2x < 3$, и, следовательно, $2x-3 < 0$. Числитель всегда отрицателен.

Таким образом, производная $f'(x) = \frac{2x-3}{2x-1}$ на интервале $(0,5; 1,5)$ является частным отрицательного числителя и положительного знаменателя, а значит, $f'(x) < 0$.

Ответ: Доказано, что $f'(x) < 0$ на интервале $(0,5; 1,5)$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом интервале.