Страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано, что $lg2 = a$. Необходимо найти $lg25$.

Десятичный логарифм $lg$ имеет основание 10. Мы знаем, что $lg10 = 1$.

Используем свойство логарифмов $lg(x \cdot y) = lg(x) + lg(y)$.

$lg10 = lg(2 \cdot 5) = lg2 + lg5 = 1$.

Отсюда мы можем выразить $lg5$ через $a$:

$lg5 = 1 - lg2 = 1 - a$.

Теперь найдем $lg25$. Мы можем представить 25 как $5^2$.

Используя свойство логарифма $log(x^y) = y \cdot log(x)$, получаем:

$lg25 = lg(5^2) = 2 \cdot lg5$.

Подставляем найденное ранее выражение для $lg5$:

$lg25 = 2 \cdot (1 - a) = 2 - 2a$.

Ответ: $2 - 2a$

2) Дано, что $lg5 = a$ и $lg2 = c$. Необходимо найти $log_{50}8$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $log_b(x) = \frac{log_k(x)}{log_k(b)}$. В качестве нового основания $k$ выберем 10 (десятичный логарифм $lg$).

$log_{50}8 = \frac{lg8}{lg50}$.

Теперь выразим числитель и знаменатель через данные $a$ и $c$.

Выразим числитель:

$lg8 = lg(2^3) = 3 \cdot lg2 = 3c$.

Выразим знаменатель:

$lg50 = lg(5^2 \cdot 2) = lg(5^2) + lg2 = 2 \cdot lg5 + lg2 = 2a + c$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу:

$log_{50}8 = \frac{3c}{2a + c}$.

Ответ: $\frac{3c}{2a + c}$

3) Дано, что $log_b a = 3$. Необходимо упростить выражение $3 log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right) + log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} b$.

Оба логарифма имеют одинаковое основание $B = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Воспользуемся свойствами логарифмов $n \cdot log_B(X) = log_B(X^n)$ и $log_B(X) + log_B(Y) = log_B(X \cdot Y)$.

Преобразуем выражение:

$log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right)^3\right) + log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} b = log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{(\sqrt[3]{a})^3}{(\sqrt{b})^3} \cdot b\right)$.

Упростим аргумент логарифма, используя степени:

$\frac{(a^{1/3})^3}{(b^{1/2})^3} \cdot b^1 = \frac{a^1}{b^{3/2}} \cdot b^1 = \frac{a}{b^{3/2 - 1}} = \frac{a}{b^{1/2}} = \frac{a}{\sqrt{b}}$.

Таким образом, исходное выражение равно $log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)$.

Для вычисления этого логарифма перейдем к основанию $b$, так как нам дано значение $log_b a$.

$log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right) = \frac{log_b \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)}{log_b \left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}$.

Вычислим числитель:

$log_b \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right) = log_b a - log_b(\sqrt{b}) = log_b a - log_b(b^{1/2}) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Вычислим знаменатель:

$log_b \left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right) = log_b \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{1/2}\right) = \frac{1}{2} log_b\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{1}{2} (log_b a - log_b b) = \frac{1}{2}(3-1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

Теперь найдем итоговое значение:

$\frac{5/2}{1} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: $2.5$

4) Дано, что $log_a b = 4$. Необходимо упростить выражение $log_{\sqrt{ab}} \left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}\right) + log_{\sqrt{ab}} (a\sqrt{a})$.

Оба логарифма имеют одинаковое основание $B = \sqrt{ab}$. Воспользуемся свойством $log_B(X) + log_B(Y) = log_B(X \cdot Y)$.

Складываем логарифмы, перемножая их аргументы:

$log_{\sqrt{ab}} \left( \left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}\right) \cdot (a\sqrt{a}) \right)$.

Упростим аргумент логарифма, используя степени:

$\left(\frac{b^{1/2}}{a^{1/4}}\right) \cdot (a^1 \cdot a^{1/2}) = \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} \cdot a^{3/2} = b^{1/2} \cdot a^{3/2 - 1/4} = b^{1/2} \cdot a^{6/4 - 1/4} = b^{1/2} \cdot a^{5/4}$.

Таким образом, исходное выражение равно $log_{\sqrt{ab}} (b^{1/2} \cdot a^{5/4})$.

Для вычисления этого логарифма перейдем к основанию $a$, так как нам дано значение $log_a b$.

$log_{\sqrt{ab}} (b^{1/2} a^{5/4}) = \frac{log_a (b^{1/2} a^{5/4})}{log_a (\sqrt{ab})}$.

Вычислим числитель:

$log_a (b^{1/2} a^{5/4}) = log_a(b^{1/2}) + log_a(a^{5/4}) = \frac{1}{2}log_a b + \frac{5}{4}log_a a = \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{5}{4} \cdot 1 = 2 + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.

Вычислим знаменатель:

$log_a (\sqrt{ab}) = log_a((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2} log_a(ab) = \frac{1}{2} (log_a a + log_a b) = \frac{1}{2}(1+4) = \frac{5}{2}$.

Теперь найдем итоговое значение:

$\frac{13/4}{5/2} = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{13 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{13}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10} = 1.3$.

Ответ: $1.3$

1) Для решения используем свойства степеней и логарифмов. Представим основание степени $343$ и основание логарифма $49$ как степени числа $7$: $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$.
$343^{2\log_{49}2} = (7^3)^{2\log_{7^2}2}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(7^3)^{2\log_{7^2}2} = 7^{3 \cdot 2\log_{7^2}2} = 7^{6\log_{7^2}2}$
Теперь используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{7^2}2 = \frac{1}{2}\log_7 2$
Подставим это в наше выражение:
$7^{6 \cdot \frac{1}{2}\log_7 2} = 7^{3\log_7 2}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$7^{3\log_7 2} = 7^{\log_7 2^3} = 7^{\log_7 8}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$7^{\log_7 8} = 8$
Ответ: 8

2) Представим основание степени $4$ и основание логарифма $32$ как степени числа $2$: $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.
$4^{2\log_{32}10} = (2^2)^{2\log_{2^5}10} = 2^{2 \cdot 2\log_{2^5}10} = 2^{4\log_{2^5}10}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{2^5}10 = \frac{1}{5}\log_2 10$
Подставляем в выражение:
$2^{4 \cdot \frac{1}{5}\log_2 10} = 2^{\frac{4}{5}\log_2 10}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$2^{\frac{4}{5}\log_2 10} = 2^{\log_2 10^{\frac{4}{5}}}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 10^{\frac{4}{5}}} = 10^{\frac{4}{5}}$
Выражение можно также записать в виде $\sqrt[5]{10^4}$ или $\sqrt[5]{10000}$.
Ответ: $10^{\frac{4}{5}}$

3) Представим корень как степень: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
$\sqrt{5}^{2\log_5 3} = (5^{\frac{1}{2}})^{2\log_5 3}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$5^{\frac{1}{2} \cdot 2\log_5 3} = 5^{1 \cdot \log_5 3} = 5^{\log_5 3}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 3} = 3$
Ответ: 3

4) Представим основания $9$ и $27$ как степени числа $3$: $9=3^2$ и $27=3^3$. Также представим $\sqrt{5}$ как $5^{\frac{1}{2}}$.
$9^{\log_{27}\sqrt{5}} = (3^2)^{\log_{3^3}5^{\frac{1}{2}}}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$3^{2 \cdot \log_{3^3}5^{\frac{1}{2}}}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{3^3}5^{\frac{1}{2}} = \frac{1/2}{3}\log_3 5 = \frac{1}{6}\log_3 5$
Подставим в показатель степени:
$3^{2 \cdot \frac{1}{6}\log_3 5} = 3^{\frac{2}{6}\log_3 5} = 3^{\frac{1}{3}\log_3 5}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$3^{\frac{1}{3}\log_3 5} = 3^{\log_3 5^{\frac{1}{3}}}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 5^{\frac{1}{3}}} = 5^{\frac{1}{3}}$
Выражение можно также записать в виде $\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $5^{\frac{1}{3}}$

5) Представим основания как степени числа 3: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ и $\frac{1}{9} = 3^{-2}$.
$(\frac{1}{27})^{\log_{\frac{1}{9}}4} = (3^{-3})^{\log_{3^{-2}}4}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$3^{-3 \cdot \log_{3^{-2}}4}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{3^{-2}}4 = \frac{1}{-2}\log_3 4 = -\frac{1}{2}\log_3 4$
Подставим в показатель степени:
$3^{-3 \cdot (-\frac{1}{2}\log_3 4)} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 4}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$3^{\frac{3}{2}\log_3 4} = 3^{\log_3 4^{\frac{3}{2}}}$
Вычислим $4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
Получаем выражение: $3^{\log_3 8}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 8} = 8$
Ответ: 8

6) Представим основания $4$ и $8$ как степени числа 2: $4=2^2$ и $8=2^3$. Число $125$ представим как $5^3$.
$4^{\log_8 125} = (2^2)^{\log_{2^3}5^3}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{2 \cdot \log_{2^3}5^3}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{2^3}5^3 = \frac{3}{3}\log_2 5 = \log_2 5$
Подставим в показатель степени:
$2^{2 \cdot \log_2 5} = 2^{2\log_2 5}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 5^2} = 2^{\log_2 25}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 25} = 25$
Ответ: 25

1) Для решения выражения $\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5}$ сначала вычислим внутренний логарифм, то есть $\log_5 \sqrt[8]{5}$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}}$.
Тогда внутренний логарифм равен $\log_5 5^{\frac{1}{8}}$.
Используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$, получаем: $\log_5 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_2 \frac{1}{8}$.
Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Тогда $\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3}$.
Используя то же свойство, получаем: $\log_2 2^{-3} = -3$.
Ответ: -3

2) Выражение $\log_3^2 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$ означает $(\log_3 (\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}))^2$.
Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Представим число $\frac{1}{125}$ как степень основания $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.
Тогда $\log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^3 = 3$.
Теперь подставим это значение в выражение: $(\log_3 3)^2$.
Поскольку по определению логарифма $\log_3 3 = 1$, получаем $1^2 = 1$.
Ответ: 1

3) Для решения выражения $\log_4 \log_3 \sqrt{81}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_3 \sqrt{81}$.
Упростим аргумент: $\sqrt{81} = 9$.
Тогда $\log_3 \sqrt{81} = \log_3 9$.
Представим 9 как степень 3: $9 = 3^2$.
Следовательно, $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_4 2$.
Пусть $\log_4 2 = x$. По определению логарифма, $4^x = 2$.
Так как $4=2^2$, уравнение принимает вид $(2^2)^x = 2^1$, или $2^{2x} = 2^1$.
Отсюда $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для решения выражения $\log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Как было вычислено в задании 2, $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^3 = 3$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} 3$.
Пусть $\log_{\sqrt{3}} 3 = x$. По определению логарифма, $(\sqrt{3})^x = 3$.
Представим $\sqrt{3}$ как степень 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Уравнение принимает вид $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^1$, или $3^{\frac{x}{2}} = 3^1$.
Отсюда $\frac{x}{2} = 1$, и $x = 2$.
Ответ: 2

5) Для решения выражения $\log_{\frac{8}{27}} \log_{25} 125$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{25} 125$.
Используем свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$. Представим основание и аргумент как степени 5: $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Тогда $\log_{25} 125 = \log_{5^2} 5^3 = \frac{3}{2} \log_5 5 = \frac{3}{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_{\frac{8}{27}} \frac{3}{2}$.
Пусть $\log_{\frac{8}{27}} \frac{3}{2} = x$. По определению логарифма, $(\frac{8}{27})^x = \frac{3}{2}$.
Представим основание $\frac{8}{27}$ как степень: $\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$.
Уравнение принимает вид $((\frac{2}{3})^3)^x = \frac{3}{2}$, или $(\frac{2}{3})^{3x} = \frac{3}{2}$.
Заметим, что $\frac{3}{2}$ является обратной дробью к $\frac{2}{3}$, то есть $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$.
Тогда $(\frac{2}{3})^{3x} = (\frac{2}{3})^{-1}$.
Отсюда $3x = -1$, и $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$

6) Для решения выражения $\log_{\frac{1}{4}} (\log_2 3 \cdot \log_3 4)$ сначала упростим выражение в скобках $\log_2 3 \cdot \log_3 4$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
В нашем случае $\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$.
Вычислим $\log_2 4$. Так как $4 = 2^2$, то $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_{\frac{1}{4}} 2$.
Пусть $\log_{\frac{1}{4}} 2 = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{4})^x = 2$.
Представим основание $\frac{1}{4}$ как степень 2: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Уравнение принимает вид $(2^{-2})^x = 2^1$, или $2^{-2x} = 2^1$.
Отсюда $-2x = 1$, и $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

Санның логарифмі қандай екі бүтін санның арасында орналасқанын табу үшін, логарифм негізінің сол санды шектейтін көршілес бүтін дәрежелерін табу керек. Яғни, $a^n < x < a^{n+1}$ теңсіздігін қанағаттандыратын $n$ бүтін санын табу керек. Сонда $n < \log_a x < n+1$ болады.

1) Негізі 2 болғанда:

• 7 саны үшін: $2^2 = 4$ және $2^3 = 8$. $4 < 7 < 8$ болғандықтан, $2^2 < 7 < 2^3$. Бұл теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек, $ \log_2(2^2) < \log_2 7 < \log_2(2^3) $ аламыз, бұдан $2 < \log_2 7 < 3$ шығады. Демек, логарифм 2 мен 3-тің арасында орналасқан.

• 30 саны үшін: $2^4 = 16$ және $2^5 = 32$. $16 < 30 < 32$ болғандықтан, $2^4 < 30 < 2^5$. Бұдан $4 < \log_2 30 < 5$ екені шығады. Демек, логарифм 4 пен 5-тің арасында орналасқан.

• 120 саны үшін: $2^6 = 64$ және $2^7 = 128$. $64 < 120 < 128$ болғандықтан, $2^6 < 120 < 2^7$. Бұдан $6 < \log_2 120 < 7$ екені шығады. Демек, логарифм 6 мен 7-нің арасында орналасқан.

• 495 саны үшін: $2^8 = 256$ және $2^9 = 512$. $256 < 495 < 512$ болғандықтан, $2^8 < 495 < 2^9$. Бұдан $8 < \log_2 495 < 9$ екені шығады. Демек, логарифм 8 бен 9-дың арасында орналасқан.

Ответ: $ \log_2 7 $ саны 2 мен 3-тің; $ \log_2 30 $ саны 4 пен 5-тің; $ \log_2 120 $ саны 6 мен 7-нің; $ \log_2 495 $ саны 8 бен 9-дың арасында орналасқан.

2) Негізі 10 болғанда:

• 3 саны үшін: $10^0 = 1$ және $10^1 = 10$. $1 < 3 < 10$ болғандықтан, $10^0 < 3 < 10^1$. Бұдан $0 < \log_{10} 3 < 1$ екені шығады. Демек, логарифм 0 мен 1-дің арасында орналасқан.

• 18 саны үшін: $10^1 = 10$ және $10^2 = 100$. $10 < 18 < 100$ болғандықтан, $10^1 < 18 < 10^2$. Бұдан $1 < \log_{10} 18 < 2$ екені шығады. Демек, логарифм 1 мен 2-нің арасында орналасқан.

• 134 саны үшін: $10^2 = 100$ және $10^3 = 1000$. $100 < 134 < 1000$ болғандықтан, $10^2 < 134 < 10^3$. Бұдан $2 < \log_{10} 134 < 3$ екені шығады. Демек, логарифм 2 мен 3-тің арасында орналасқан.

• 1782 саны үшін: $10^3 = 1000$ және $10^4 = 10000$. $1000 < 1782 < 10000$ болғандықтан, $10^3 < 1782 < 10^4$. Бұдан $3 < \log_{10} 1782 < 4$ екені шығады. Демек, логарифм 3 пен 4-тің арасында орналасқан.

Ответ: $ \log_{10} 3 $ саны 0 мен 1-дің; $ \log_{10} 18 $ саны 1 мен 2-нің; $ \log_{10} 134 $ саны 2 мен 3-тің; $ \log_{10} 1782 $ саны 3 пен 4-тің арасында орналасқан.

1) Логарифмнің мәні қандай екі теріс бүтін санның арасында орналасқанын анықтау үшін, логарифм астындағы санды негіздің көршілес бүтін дәрежелерімен салыстыру керек. Яғни, $a^n < x < a^{n+1}$ теңсіздігін қанағаттандыратын $n$ бүтін санын табу керек, мұндағы $x$ - берілген сан, $a$ - логарифм негізі. Сонда $n < \log_a x < n+1$ болады. Бұл есепте негіз 10 болғандықтан, $10^n < x < 10^{n+1}$ теңсіздігі орындалатын $n$ санын іздейміз. Ондық логарифм $\lg x$ деп белгіленеді.

0,07 үшін:
$10^{-2} = 0,01$ және $10^{-1} = 0,1$.
$0,01 < 0,07 < 0,1$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-2} < 0,07 < 10^{-1}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-2}) < \lg(0,07) < \log_{10}(10^{-1})$
$-2 < \lg(0,07) < -1$.
Демек, $\lg(0,07)$ мәні -2 және -1 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -2 және -1.

0,018 үшін:
$10^{-2} = 0,01$ және $10^{-1} = 0,1$.
$0,01 < 0,018 < 0,1$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-2} < 0,018 < 10^{-1}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-2}) < \lg(0,018) < \log_{10}(10^{-1})$
$-2 < \lg(0,018) < -1$.
Демек, $\lg(0,018)$ мәні -2 және -1 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -2 және -1.

0,00125 үшін:
$10^{-3} = 0,001$ және $10^{-2} = 0,01$.
$0,001 < 0,00125 < 0,01$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-3} < 0,00125 < 10^{-2}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-3}) < \lg(0,00125) < \log_{10}(10^{-2})$
$-3 < \lg(0,00125) < -2$.
Демек, $\lg(0,00125)$ мәні -3 және -2 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -3 және -2.

0,00005 үшін:
$10^{-5} = 0,00001$ және $10^{-4} = 0,0001$.
$0,00001 < 0,00005 < 0,0001$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-5} < 0,00005 < 10^{-4}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-5}) < \lg(0,00005) < \log_{10}(10^{-4})$
$-5 < \lg(0,00005) < -4$.
Демек, $\lg(0,00005)$ мәні -5 және -4 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -5 және -4.

2) Бұл жағдайда негіз 2-ге тең. Сондықтан $2^n < x < 2^{n+1}$ теңсіздігін қанағаттандыратын $n$ бүтін санын іздейміз. 2-нің кейбір теріс дәрежелерін қарастырайық: $2^{-3}=\frac{1}{8}$, $2^{-4}=\frac{1}{16}$, $2^{-5}=\frac{1}{32}$, $2^{-6}=\frac{1}{64}$, $2^{-7}=\frac{1}{128}$.

$\frac{1}{15}$ үшін:
$\frac{1}{16} < \frac{1}{15}$ және $\frac{1}{15} < \frac{1}{8}$ болғандықтан, $\frac{1}{16} < \frac{1}{15} < \frac{1}{8}$ теңсіздігі орындалады.
Бұл $2^{-4} < \frac{1}{15} < 2^{-3}$ дегенді білдіреді.
Теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_2(2^{-4}) < \log_2(\frac{1}{15}) < \log_2(2^{-3})$
$-4 < \log_2(\frac{1}{15}) < -3$.
Демек, $\log_2(\frac{1}{15})$ мәні -4 және -3 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -4 және -3.

$\frac{3}{80}$ үшін:
$2^{-5}=\frac{1}{32}$ және $2^{-4}=\frac{1}{16}$. Бөлшектерді салыстыру үшін ортақ бөлімге келтірейік: $\frac{1}{32} = \frac{2.5}{80}$ және $\frac{1}{16} = \frac{5}{80}$.
$\frac{2.5}{80} < \frac{3}{80} < \frac{5}{80}$ болғандықтан, $\frac{1}{32} < \frac{3}{80} < \frac{1}{16}$ теңсіздігі орындалады.
Бұл $2^{-5} < \frac{3}{80} < 2^{-4}$ дегенді білдіреді.
Теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_2(2^{-5}) < \log_2(\frac{3}{80}) < \log_2(2^{-4})$
$-5 < \log_2(\frac{3}{80}) < -4$.
Демек, $\log_2(\frac{3}{80})$ мәні -5 және -4 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -5 және -4.

$\frac{1}{120}$ үшін:
$\frac{1}{128} < \frac{1}{120}$ және $\frac{1}{120} < \frac{1}{64}$ болғандықтан, $\frac{1}{128} < \frac{1}{120} < \frac{1}{64}$ теңсіздігі орындалады.
Бұл $2^{-7} < \frac{1}{120} < 2^{-6}$ дегенді білдіреді.
Теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_2(2^{-7}) < \log_2(\frac{1}{120}) < \log_2(2^{-6})$
$-7 < \log_2(\frac{1}{120}) < -6$.
Демек, $\log_2(\frac{1}{120})$ мәні -7 және -6 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -7 және -6.

1)

Требуется найти логарифм числа $ \sqrt[5]{8} $ по основаниям 2; $ \frac{1}{2} $; 4; 16; 64.

Сначала упростим число под знаком логарифма, представив его в виде степени с основанием 2: $ \sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}} = (2^3)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}} $.

Теперь вычислим логарифмы для каждого основания. Мы будем использовать свойство логарифма $ \log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b $. Когда $ a=b $, получаем $ \log_{a^k} (a^m) = \frac{m}{k} $.

а) Основание 2: $ \log_2(\sqrt[5]{8}) = \log_2(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3}{5} $.

б) Основание $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $: $ \log_{\frac{1}{2}}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^{-1}}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{-1} = -\frac{3}{5} $.

в) Основание $ 4 = 2^2 $: $ \log_4(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^2}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{2} = \frac{3}{10} $.

г) Основание $ 16 = 2^4 $: $ \log_{16}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^4}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{4} = \frac{3}{20} $.

д) Основание $ 64 = 2^6 $: $ \log_{64}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^6}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{6} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $.

Ответ: $ \frac{3}{5} $; $ -\frac{3}{5} $; $ \frac{3}{10} $; $ \frac{3}{20} $; $ \frac{1}{10} $.

2)

Требуется найти основание $ b $, при котором логарифм числа $ \sqrt{27} $ равен $ \frac{3}{2} $; $ \frac{2}{3} $; $ -\frac{1}{2} $; $ -\frac{3}{4} $.

Сначала упростим число под знаком логарифма, представив его в виде степени с основанием 3: $ \sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}} $.

По определению логарифма, если $ \log_b a = x $, то $ b^x = a $. В нашем случае $ a = 3^{\frac{3}{2}} $. Получаем уравнение $ b^x = 3^{\frac{3}{2}} $. Чтобы найти $ b $, возведем обе части уравнения в степень $ \frac{1}{x} $: $ (b^x)^{\frac{1}{x}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{x}} \implies b = 3^{\frac{3}{2x}} $.

а) Логарифм равен $ x = \frac{3}{2} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (3/2)}} = 3^{\frac{3}{3}} = 3^1 = 3 $.

б) Логарифм равен $ x = \frac{2}{3} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (2/3)}} = 3^{\frac{3}{4/3}} = 3^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{4}} $.

в) Логарифм равен $ x = -\frac{1}{2} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (-1/2)}} = 3^{\frac{3}{-1}} = 3^{-3} = \frac{1}{27} $.

г) Логарифм равен $ x = -\frac{3}{4} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (-3/4)}} = 3^{\frac{3}{-3/2}} = 3^{3 \cdot (-2/3)} = 3^{-2} = \frac{1}{9} $.

Ответ: 3; $ 3^{\frac{9}{4}} $; $ \frac{1}{27} $; $ \frac{1}{9} $.

Пусть дана последовательность положительных чисел $\{b_n\}$, которая является геометрической прогрессией. Пусть её первый член равен $b_1$ (где $b_1 > 0$), а знаменатель равен $q$ (где $q > 0$). Условие положительности членов необходимо для того, чтобы их логарифмы были определены.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Рассмотрим новую последовательность $\{a_n\}$, члены которой являются логарифмами членов последовательности $\{b_n\}$ по некоторому основанию $c$ (где $c > 0$ и $c \neq 1$):

$a_n = \log_c(b_n)$

Чтобы доказать, что последовательность $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любыми двумя её соседними членами является постоянной величиной (константой). Найдём разность $a_{n+1} - a_n$.

Выразим члены $a_{n+1}$ и $a_n$:

$a_{n+1} = \log_c(b_{n+1})$

$a_n = \log_c(b_n)$

Их разность равна:

$a_{n+1} - a_n = \log_c(b_{n+1}) - \log_c(b_n)$

Используя свойство логарифмов $\log_c(x) - \log_c(y) = \log_c(x/y)$, получаем:

$a_{n+1} - a_n = \log_c\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)$

По определению геометрической прогрессии, отношение любого последующего члена к предыдущему равно знаменателю прогрессии $q$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$

Подставим это значение в наше выражение для разности:

$a_{n+1} - a_n = \log_c(q)$

Поскольку знаменатель $q$ является постоянной величиной для данной геометрической прогрессии, то и $\log_c(q)$ также является постоянной величиной. Эта величина и есть разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$, обозначим её через $d$:

$d = \log_c(q)$

Таким образом, для любого $n \ge 1$ разность между соседними членами последовательности $\{a_n\}$ постоянна и равна $d$. Это доказывает, что последовательность логарифмов $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = \log_c(b_1)$ и разностью $d = \log_c(q)$.

Ответ: Утверждение доказано. Если последовательность $\{b_n\}$ является геометрической прогрессией с положительными членами, первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, то последовательность их логарифмов по основанию $c$, $\{a_n\} = \{\log_c(b_n)\}$, является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = \log_c(b_1)$ и разностью $d = \log_c(q)$.

1)Сначала упростим множитель в скобках. Для этого вычислим значение степени:$4^{\log_{2}5} = (2^2)^{\log_{2}5} = 2^{2\log_{2}5} = 2^{\log_{2}5^2} = 2^{\log_{2}25} = 25$.Здесь были использованы свойства степени $(a^m)^n = a^{mn}$, свойство логарифма $k\log_b c = \log_b c^k$ и основное логарифмическое тождество $b^{\log_b c} = c$.Теперь выражение в скобках равно $1 + 25 = 26$.Подставим это значение в исходное выражение:$0,25 \cdot (1 + 25) \cdot \log_{26}4 = 0,25 \cdot 26 \cdot \log_{26}4$.Поскольку $0,25 = \frac{1}{4}$, получаем:$\frac{1}{4} \cdot 26 \cdot \log_{26}4 = \frac{13}{2} \log_{26}4$.Используя свойство логарифма $\log_a b^k = k\log_a b$, можно преобразовать выражение:$\frac{13}{2} \log_{26}(2^2) = \frac{13}{2} \cdot 2\log_{26}2 = 13\log_{26}2$.Ответ: $13\log_{26}2$.

2)Разобьем выражение на две части и вычислим каждую по отдельности.Первая часть: $10^{2 - \lg 2}$. Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество ($ \lg x = \log_{10} x $):$10^{2 - \lg 2} = \frac{10^2}{10^{\lg 2}} = \frac{100}{2} = 50$.Вторая часть: $25^{\log_5 4}$. Используем свойства степени и логарифмов:$25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$.Теперь вычтем второе из первого:$50 - 16 = 34$.Ответ: $34$.

3)Вычислим первое слагаемое:$81^{\log_{9}2} = (9^2)^{\log_{9}2} = 9^{2\log_{9}2} = 9^{\log_{9}2^2} = 9^{\log_{9}4} = 4$.Второе слагаемое в выражении является произведением $0,25$ на $\log_3 2$:$0,25 \cdot \log_{3}2 = \frac{1}{4}\log_{3}2$.Теперь выполним вычитание:$4 - \frac{1}{4}\log_{3}2$.Это выражение не упрощается до рационального числа.Ответ: $4 - \frac{1}{4}\log_{3}2$.

4)Это выражение вида $81^E$, где $E = -\log_{0,5}3 \cdot \log_{1/3}4 + 2,5$. Упростим показатель степени $E$.Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $2,5 = \frac{5}{2}$.Используем свойство $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:$\log_{0,5}3 = \log_{2^{-1}}3 = -\log_2 3$.$\log_{1/3}4 = \log_{3^{-1}}4 = -\log_3 4$.Подставим это в выражение для $E$:$E = -(-\log_2 3) \cdot (-\log_3 4) + \frac{5}{2} = -(\log_2 3 \cdot \log_3 4) + \frac{5}{2}$.Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = 2$.Теперь $E = -2 + \frac{5}{2} = -\frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$.Искомое значение: $81^{1/2} = \sqrt{81} = 9$.Ответ: $9$.

5)Для упрощения введем замену: пусть $a = \log_2 14$ и $b = \log_2 56$.Выражение примет вид: $\frac{a^2 + ab - 2b^2}{a-b}$.Разложим числитель на множители: $a^2 + ab - 2b^2 = (a-b)(a+2b)$.Подставим в дробь: $\frac{(a-b)(a+2b)}{a-b}$.Поскольку $a-b = \log_2 14 - \log_2 56 = \log_2(\frac{14}{56}) = \log_2(\frac{1}{4}) = -2 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(a-b)$.В результате получаем $a+2b$.Вернемся к исходным переменным: $\log_2 14 + 2\log_2 56$.Свяжем $a$ и $b$: $b = \log_2 56 = \log_2(4 \cdot 14) = \log_2 4 + \log_2 14 = 2 + a$.Тогда $a+2b = a + 2(a+2) = a + 2a + 4 = 3a + 4$.Подставим значение $a$: $3\log_2 14 + 4$.Выражение можно также преобразовать к виду $3\log_2(2\cdot7)+4 = 3(1+\log_2 7)+4 = 3+3\log_2 7+4 = 7+3\log_2 7$.Ответ: $3\log_2 14 + 4$.

6)Введем замену: пусть $a = \log_5 7\sqrt{5}$ и $b = \log_5 7$.Числитель дроби: $\log_5^2 7\sqrt{5} + 2\log_5^2 7 - 3(\log_5 7\sqrt{5})(\log_5 7) = a^2 + 2b^2 - 3ab$.Перегруппируем и разложим на множители: $a^2 - 3ab + 2b^2 = (a-b)(a-2b)$.Знаменатель дроби: $\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 49$.Поскольку $49=7^2$, знаменатель равен $\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 7^2 = \log_5 7\sqrt{5} - 2\log_5 7 = a-2b$.Теперь выражение имеет вид: $\frac{(a-b)(a-2b)}{a-2b}$.Так как $a-2b = \log_5 7\sqrt{5} - 2\log_5 7 = \log_5(7\cdot 5^{1/2}) - \log_5 7^2 = \log_5 7 + 1/2 - 2\log_5 7 = 1/2 - \log_5 7 \neq 0$, можно сократить дробь.Результат равен $a-b$.Подставим значения $a$ и $b$:$\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 7 = \log_5\left(\frac{7\sqrt{5}}{7}\right) = \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2}$.Ответ: $\frac{1}{2}$.

7)Введем замену: пусть $a = \log_4 12$ и $b = \log_4 \frac{1}{3}$.Числитель дроби: $\log_4^2 12 + 3\log_4^2 \frac{1}{3} + 4(\log_4 12)(\log_4 \frac{1}{3}) = a^2 + 3b^2 + 4ab$.Перегруппируем и разложим на множители: $a^2 + 4ab + 3b^2 = (a+b)(a+3b)$.Знаменатель дроби: $\log_4 12 + 3\log_4 \frac{1}{3} = a+3b$.Выражение примет вид: $\frac{(a+b)(a+3b)}{a+3b}$.Так как $a+3b = \log_4 12 + 3\log_4(1/3) = \log_4 12 + \log_4((1/3)^3) = \log_4(12/27) = \log_4(4/9) \neq 0$, можно сократить дробь.Результат равен $a+b$.Подставим значения $a$ и $b$:$\log_4 12 + \log_4 \frac{1}{3} = \log_4\left(12 \cdot \frac{1}{3}\right) = \log_4 4 = 1$.Ответ: $1$.

8)Введем замену: пусть $a = \log_2 3$ и $b = \log_2 12$.Числитель дроби: $2\log_2^2 3 - \log_2^2 12 - \log_2 3 \log_2 12 = 2a^2 - b^2 - ab$.Перегруппируем и разложим на множители: $2a^2 - ab - b^2 = (2a+b)(a-b)$.Знаменатель дроби: $2\log_2 3 + \log_2 12 = 2a+b$.Выражение примет вид: $\frac{(2a+b)(a-b)}{2a+b}$.Так как $2a+b = 2\log_2 3 + \log_2 12 = \log_2 3^2 + \log_2 12 = \log_2(9 \cdot 12) = \log_2 108 \neq 0$, можно сократить дробь.Результат равен $a-b$.Подставим значения $a$ и $b$:$\log_2 3 - \log_2 12 = \log_2\left(\frac{3}{12}\right) = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2 2^{-2} = -2$.Ответ: $-2$.