Номер 215, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано, что $lg2 = a$. Необходимо найти $lg25$.

Десятичный логарифм $lg$ имеет основание 10. Мы знаем, что $lg10 = 1$.

Используем свойство логарифмов $lg(x \cdot y) = lg(x) + lg(y)$.

$lg10 = lg(2 \cdot 5) = lg2 + lg5 = 1$.

Отсюда мы можем выразить $lg5$ через $a$:

$lg5 = 1 - lg2 = 1 - a$.

Теперь найдем $lg25$. Мы можем представить 25 как $5^2$.

Используя свойство логарифма $log(x^y) = y \cdot log(x)$, получаем:

$lg25 = lg(5^2) = 2 \cdot lg5$.

Подставляем найденное ранее выражение для $lg5$:

$lg25 = 2 \cdot (1 - a) = 2 - 2a$.

Ответ: $2 - 2a$

2) Дано, что $lg5 = a$ и $lg2 = c$. Необходимо найти $log_{50}8$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $log_b(x) = \frac{log_k(x)}{log_k(b)}$. В качестве нового основания $k$ выберем 10 (десятичный логарифм $lg$).

$log_{50}8 = \frac{lg8}{lg50}$.

Теперь выразим числитель и знаменатель через данные $a$ и $c$.

Выразим числитель:

$lg8 = lg(2^3) = 3 \cdot lg2 = 3c$.

Выразим знаменатель:

$lg50 = lg(5^2 \cdot 2) = lg(5^2) + lg2 = 2 \cdot lg5 + lg2 = 2a + c$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу:

$log_{50}8 = \frac{3c}{2a + c}$.

Ответ: $\frac{3c}{2a + c}$

3) Дано, что $log_b a = 3$. Необходимо упростить выражение $3 log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right) + log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} b$.

Оба логарифма имеют одинаковое основание $B = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Воспользуемся свойствами логарифмов $n \cdot log_B(X) = log_B(X^n)$ и $log_B(X) + log_B(Y) = log_B(X \cdot Y)$.

Преобразуем выражение:

$log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right)^3\right) + log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} b = log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{(\sqrt[3]{a})^3}{(\sqrt{b})^3} \cdot b\right)$.

Упростим аргумент логарифма, используя степени:

$\frac{(a^{1/3})^3}{(b^{1/2})^3} \cdot b^1 = \frac{a^1}{b^{3/2}} \cdot b^1 = \frac{a}{b^{3/2 - 1}} = \frac{a}{b^{1/2}} = \frac{a}{\sqrt{b}}$.

Таким образом, исходное выражение равно $log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)$.

Для вычисления этого логарифма перейдем к основанию $b$, так как нам дано значение $log_b a$.

$log_{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right) = \frac{log_b \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)}{log_b \left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}$.

Вычислим числитель:

$log_b \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right) = log_b a - log_b(\sqrt{b}) = log_b a - log_b(b^{1/2}) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Вычислим знаменатель:

$log_b \left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right) = log_b \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{1/2}\right) = \frac{1}{2} log_b\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{1}{2} (log_b a - log_b b) = \frac{1}{2}(3-1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

Теперь найдем итоговое значение:

$\frac{5/2}{1} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: $2.5$

4) Дано, что $log_a b = 4$. Необходимо упростить выражение $log_{\sqrt{ab}} \left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}\right) + log_{\sqrt{ab}} (a\sqrt{a})$.

Оба логарифма имеют одинаковое основание $B = \sqrt{ab}$. Воспользуемся свойством $log_B(X) + log_B(Y) = log_B(X \cdot Y)$.

Складываем логарифмы, перемножая их аргументы:

$log_{\sqrt{ab}} \left( \left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}\right) \cdot (a\sqrt{a}) \right)$.

Упростим аргумент логарифма, используя степени:

$\left(\frac{b^{1/2}}{a^{1/4}}\right) \cdot (a^1 \cdot a^{1/2}) = \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} \cdot a^{3/2} = b^{1/2} \cdot a^{3/2 - 1/4} = b^{1/2} \cdot a^{6/4 - 1/4} = b^{1/2} \cdot a^{5/4}$.

Таким образом, исходное выражение равно $log_{\sqrt{ab}} (b^{1/2} \cdot a^{5/4})$.

Для вычисления этого логарифма перейдем к основанию $a$, так как нам дано значение $log_a b$.

$log_{\sqrt{ab}} (b^{1/2} a^{5/4}) = \frac{log_a (b^{1/2} a^{5/4})}{log_a (\sqrt{ab})}$.

Вычислим числитель:

$log_a (b^{1/2} a^{5/4}) = log_a(b^{1/2}) + log_a(a^{5/4}) = \frac{1}{2}log_a b + \frac{5}{4}log_a a = \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{5}{4} \cdot 1 = 2 + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.

Вычислим знаменатель:

$log_a (\sqrt{ab}) = log_a((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2} log_a(ab) = \frac{1}{2} (log_a a + log_a b) = \frac{1}{2}(1+4) = \frac{5}{2}$.

Теперь найдем итоговое значение:

$\frac{13/4}{5/2} = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{13 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{13}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10} = 1.3$.

Ответ: $1.3$