Номер 210, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $. Применяя это свойство к выражению, получаем:

$ \log_2 12 + \log_2 \frac{5}{3} + \log_2 \frac{4}{5} = \log_2 (12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5}) $

Вычислим произведение под знаком логарифма:

$ 12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 $

Таким образом, выражение упрощается до $ \log_2 16 $.

Поскольку $ 16 = 2^4 $, то по определению логарифма:

$ \log_2 16 = \log_2(2^4) = 4 $

Ответ: $4$

2)Преобразуем аргументы логарифмов, представив их в виде степеней:

$ 128 = 2^7 $

$ \frac{1}{125} = 125^{-1} = (5^3)^{-1} = 5^{-3} $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ (\log_5 128) \cdot (\log_2 \frac{1}{125}) = (\log_5 2^7) \cdot (\log_2 5^{-3}) $

Используем свойство логарифма степени $ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b $:

$ (7 \cdot \log_5 2) \cdot (-3 \cdot \log_2 5) = -21 \cdot (\log_5 2 \cdot \log_2 5) $

Применяем свойство $ \log_a b \cdot \log_b a = 1 $ (которое следует из формулы перехода к новому основанию):

$ -21 \cdot 1 = -21 $

Ответ: $-21$

3)Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $ 3^{2-\log_3 5} $. Используем свойство степени $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $:

$ 3^{2-\log_3 5} = \frac{3^2}{3^{\log_3 5}} $

По основному логарифмическому тождеству $ a^{\log_a b} = b $, знаменатель $ 3^{\log_3 5} = 5 $.

Таким образом, первое слагаемое равно $ \frac{9}{5} $.

Второе слагаемое: $ (\frac{1}{3})^{\log_3 5} $. Представим $ \frac{1}{3} $ как $ 3^{-1} $ и воспользуемся свойствами степеней и логарифмов:

$ (\frac{1}{3})^{\log_3 5} = (3^{-1})^{\log_3 5} = 3^{-1 \cdot \log_3 5} = 3^{-\log_3 5} = 3^{\log_3 5^{-1}} $

По основному логарифмическому тождеству, получаем: $ 3^{\log_3 5^{-1}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} $.

Сложим полученные результаты:

$ \frac{9}{5} + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2 $

Ответ: $2$

4)Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $ 9^{3-\log_3 54} $. Представим основание $ 9 $ как $ 3^2 $:

$ 9^{3-\log_3 54} = (3^2)^{3-\log_3 54} = 3^{2(3-\log_3 54)} = 3^{6 - 2\log_3 54} $

Используем свойство степени $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $ и свойство логарифма $ k \cdot \log_a b = \log_a b^k $:

$ \frac{3^6}{3^{2\log_3 54}} = \frac{3^6}{3^{\log_3 54^2}} $

По основному логарифмическому тождеству, $ 3^{\log_3 54^2} = 54^2 $. Выражение принимает вид:

$ \frac{3^6}{54^2} = \frac{729}{2916} $. Упростим дробь, зная, что $ 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 $, тогда $ 54^2 = (2 \cdot 3^3)^2 = 4 \cdot 3^6 $.

$ \frac{3^6}{4 \cdot 3^6} = \frac{1}{4} $

Второе слагаемое: $ 7^{-\log_7 4} $. Используем свойство $ k \cdot \log_a b = \log_a b^k $ и основное логарифмическое тождество:

$ 7^{-\log_7 4} = 7^{\log_7 4^{-1}} = 4^{-1} = \frac{1}{4} $

Складываем полученные результаты:

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$