Номер 216, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения используем свойства степеней и логарифмов. Представим основание степени $343$ и основание логарифма $49$ как степени числа $7$: $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$.
$343^{2\log_{49}2} = (7^3)^{2\log_{7^2}2}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(7^3)^{2\log_{7^2}2} = 7^{3 \cdot 2\log_{7^2}2} = 7^{6\log_{7^2}2}$
Теперь используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{7^2}2 = \frac{1}{2}\log_7 2$
Подставим это в наше выражение:
$7^{6 \cdot \frac{1}{2}\log_7 2} = 7^{3\log_7 2}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$7^{3\log_7 2} = 7^{\log_7 2^3} = 7^{\log_7 8}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$7^{\log_7 8} = 8$
Ответ: 8

2) Представим основание степени $4$ и основание логарифма $32$ как степени числа $2$: $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.
$4^{2\log_{32}10} = (2^2)^{2\log_{2^5}10} = 2^{2 \cdot 2\log_{2^5}10} = 2^{4\log_{2^5}10}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{2^5}10 = \frac{1}{5}\log_2 10$
Подставляем в выражение:
$2^{4 \cdot \frac{1}{5}\log_2 10} = 2^{\frac{4}{5}\log_2 10}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$2^{\frac{4}{5}\log_2 10} = 2^{\log_2 10^{\frac{4}{5}}}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 10^{\frac{4}{5}}} = 10^{\frac{4}{5}}$
Выражение можно также записать в виде $\sqrt[5]{10^4}$ или $\sqrt[5]{10000}$.
Ответ: $10^{\frac{4}{5}}$

3) Представим корень как степень: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
$\sqrt{5}^{2\log_5 3} = (5^{\frac{1}{2}})^{2\log_5 3}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$5^{\frac{1}{2} \cdot 2\log_5 3} = 5^{1 \cdot \log_5 3} = 5^{\log_5 3}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 3} = 3$
Ответ: 3

4) Представим основания $9$ и $27$ как степени числа $3$: $9=3^2$ и $27=3^3$. Также представим $\sqrt{5}$ как $5^{\frac{1}{2}}$.
$9^{\log_{27}\sqrt{5}} = (3^2)^{\log_{3^3}5^{\frac{1}{2}}}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$3^{2 \cdot \log_{3^3}5^{\frac{1}{2}}}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{3^3}5^{\frac{1}{2}} = \frac{1/2}{3}\log_3 5 = \frac{1}{6}\log_3 5$
Подставим в показатель степени:
$3^{2 \cdot \frac{1}{6}\log_3 5} = 3^{\frac{2}{6}\log_3 5} = 3^{\frac{1}{3}\log_3 5}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$3^{\frac{1}{3}\log_3 5} = 3^{\log_3 5^{\frac{1}{3}}}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 5^{\frac{1}{3}}} = 5^{\frac{1}{3}}$
Выражение можно также записать в виде $\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $5^{\frac{1}{3}}$

5) Представим основания как степени числа 3: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ и $\frac{1}{9} = 3^{-2}$.
$(\frac{1}{27})^{\log_{\frac{1}{9}}4} = (3^{-3})^{\log_{3^{-2}}4}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$3^{-3 \cdot \log_{3^{-2}}4}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{3^{-2}}4 = \frac{1}{-2}\log_3 4 = -\frac{1}{2}\log_3 4$
Подставим в показатель степени:
$3^{-3 \cdot (-\frac{1}{2}\log_3 4)} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 4}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$3^{\frac{3}{2}\log_3 4} = 3^{\log_3 4^{\frac{3}{2}}}$
Вычислим $4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
Получаем выражение: $3^{\log_3 8}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 8} = 8$
Ответ: 8

6) Представим основания $4$ и $8$ как степени числа 2: $4=2^2$ и $8=2^3$. Число $125$ представим как $5^3$.
$4^{\log_8 125} = (2^2)^{\log_{2^3}5^3}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{2 \cdot \log_{2^3}5^3}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{2^3}5^3 = \frac{3}{3}\log_2 5 = \log_2 5$
Подставим в показатель степени:
$2^{2 \cdot \log_2 5} = 2^{2\log_2 5}$
Используем свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:
$2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 5^2} = 2^{\log_2 25}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 25} = 25$
Ответ: 25