Номер 217, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения выражения $\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5}$ сначала вычислим внутренний логарифм, то есть $\log_5 \sqrt[8]{5}$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}}$.
Тогда внутренний логарифм равен $\log_5 5^{\frac{1}{8}}$.
Используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$, получаем: $\log_5 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_2 \frac{1}{8}$.
Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Тогда $\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3}$.
Используя то же свойство, получаем: $\log_2 2^{-3} = -3$.
Ответ: -3

2) Выражение $\log_3^2 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$ означает $(\log_3 (\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}))^2$.
Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Представим число $\frac{1}{125}$ как степень основания $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.
Тогда $\log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^3 = 3$.
Теперь подставим это значение в выражение: $(\log_3 3)^2$.
Поскольку по определению логарифма $\log_3 3 = 1$, получаем $1^2 = 1$.
Ответ: 1

3) Для решения выражения $\log_4 \log_3 \sqrt{81}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_3 \sqrt{81}$.
Упростим аргумент: $\sqrt{81} = 9$.
Тогда $\log_3 \sqrt{81} = \log_3 9$.
Представим 9 как степень 3: $9 = 3^2$.
Следовательно, $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_4 2$.
Пусть $\log_4 2 = x$. По определению логарифма, $4^x = 2$.
Так как $4=2^2$, уравнение принимает вид $(2^2)^x = 2^1$, или $2^{2x} = 2^1$.
Отсюда $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для решения выражения $\log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Как было вычислено в задании 2, $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^3 = 3$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} 3$.
Пусть $\log_{\sqrt{3}} 3 = x$. По определению логарифма, $(\sqrt{3})^x = 3$.
Представим $\sqrt{3}$ как степень 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Уравнение принимает вид $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^1$, или $3^{\frac{x}{2}} = 3^1$.
Отсюда $\frac{x}{2} = 1$, и $x = 2$.
Ответ: 2

5) Для решения выражения $\log_{\frac{8}{27}} \log_{25} 125$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{25} 125$.
Используем свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$. Представим основание и аргумент как степени 5: $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Тогда $\log_{25} 125 = \log_{5^2} 5^3 = \frac{3}{2} \log_5 5 = \frac{3}{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_{\frac{8}{27}} \frac{3}{2}$.
Пусть $\log_{\frac{8}{27}} \frac{3}{2} = x$. По определению логарифма, $(\frac{8}{27})^x = \frac{3}{2}$.
Представим основание $\frac{8}{27}$ как степень: $\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$.
Уравнение принимает вид $((\frac{2}{3})^3)^x = \frac{3}{2}$, или $(\frac{2}{3})^{3x} = \frac{3}{2}$.
Заметим, что $\frac{3}{2}$ является обратной дробью к $\frac{2}{3}$, то есть $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$.
Тогда $(\frac{2}{3})^{3x} = (\frac{2}{3})^{-1}$.
Отсюда $3x = -1$, и $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$

6) Для решения выражения $\log_{\frac{1}{4}} (\log_2 3 \cdot \log_3 4)$ сначала упростим выражение в скобках $\log_2 3 \cdot \log_3 4$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
В нашем случае $\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$.
Вычислим $\log_2 4$. Так как $4 = 2^2$, то $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_{\frac{1}{4}} 2$.
Пусть $\log_{\frac{1}{4}} 2 = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{4})^x = 2$.
Представим основание $\frac{1}{4}$ как степень 2: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Уравнение принимает вид $(2^{-2})^x = 2^1$, или $2^{-2x} = 2^1$.
Отсюда $-2x = 1$, и $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$