Номер 211, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Сравним числа $9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)}$ и $\sqrt{5}$.
Сначала упростим первое выражение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Для этого приведем основание степени к основанию логарифма.
Представим $9$ как степень числа $\frac{1}{9}$: $9 = \left(\frac{1}{9}\right)^{-1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)} = \left(\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-1 \cdot \log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)}$.
Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, внесем множитель $-1$ под знак логарифма:
$\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)} = \left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{3}{2}\right)}$.
Теперь, согласно основному логарифмическому тождеству, получаем:
$\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{3}{2}\right)} = \frac{3}{2}$.
Задача сводится к сравнению чисел $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{5}$.
$\frac{3}{2} = 1.5$.
Чтобы сравнить $1.5$ и $\sqrt{5}$, возведем оба положительных числа в квадрат:
$(1.5)^2 = 2.25$.
$(\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $2.25 < 5$, то $1.5 < \sqrt{5}$, и, следовательно, $\frac{3}{2} < \sqrt{5}$.
Ответ: $9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)} < \sqrt{5}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{3}$ и $\left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2}$.
Сначала упростим второе выражение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Представим основание степени $\frac{1}{36}$ как степень числа $6$, которое является основанием логарифма:
$\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.
Подставим это в выражение:
$\left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2} = (6^{-2})^{\log_6 2} = 6^{-2 \cdot \log_6 2}$.
Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, внесем множитель $-2$ под знак логарифма:
$6^{\log_6 (2^{-2})} = 6^{\log_6 \left(\frac{1}{4}\right)}$.
Теперь, согласно основному логарифмическому тождеству, получаем:
$6^{\log_6 \left(\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{4}$.
Задача сводится к сравнению чисел $\sqrt[3]{3}$ и $\frac{1}{4}$.
Оценим значение $\sqrt[3]{3}$. Так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. В частности, $\sqrt[3]{3} > 1$.
Число $\frac{1}{4}$ равно $0.25$, что очевидно меньше $1$.
Поскольку $\sqrt[3]{3} > 1$ и $\frac{1}{4} < 1$, мы можем заключить, что $\sqrt[3]{3} > \frac{1}{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} > \left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2}$.