Номер 207, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для логарифмирования выражения $lg(a^2b^3)$ необходимо применить свойства логарифмов. Сначала используем свойство логарифма произведения $log_c(xy) = log_c(x) + log_c(y)$:
$lg(a^2b^3) = lg(a^2) + lg(b^3)$
Затем, к каждому слагаемому применим свойство логарифма степени $log_c(x^n) = n \cdot log_c(x)$:
$lg(a^2) + lg(b^3) = 2lg(a) + 3lg(b)$
Ответ: $2lg(a) + 3lg(b)$

2) Для выражения $lg(5a^2x^2)$ применим свойство логарифма произведения, чтобы разбить выражение на сумму логарифмов:
$lg(5a^2x^2) = lg(5) + lg(a^2) + lg(x^2)$
Далее применим свойство логарифма степени к членам, содержащим переменные:
$lg(5) + 2lg(a) + 2lg(x)$
Ответ: $lg(5) + 2lg(a) + 2lg(x)$

3) В выражении $lg((mn)^3)$ сначала применим свойство логарифма степени:
$lg((mn)^3) = 3lg(mn)$
После этого применим свойство логарифма произведения:
$3(lg(m) + lg(n)) = 3lg(m) + 3lg(n)$
Ответ: $3lg(m) + 3lg(n)$

4) Для логарифмирования выражения $lg\sqrt[3]{7a^3b}$ сначала представим кубический корень в виде степени $1/3$:
$lg\sqrt[3]{7a^3b} = lg((7a^3b)^{1/3})$
Применим свойство логарифма степени:
$\frac{1}{3}lg(7a^3b)$
Теперь используем свойство логарифма произведения:
$\frac{1}{3}(lg(7) + lg(a^3) + lg(b))$
Применим свойство логарифма степени для $lg(a^3)$:
$\frac{1}{3}(lg(7) + 3lg(a) + lg(b))$
Раскроем скобки, умножив каждый член на $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3}lg(7) + \frac{3}{3}lg(a) + \frac{1}{3}lg(b) = \frac{1}{3}lg(7) + lg(a) + \frac{1}{3}lg(b)$
Ответ: $\frac{1}{3}lg(7) + lg(a) + \frac{1}{3}lg(b)$

5) Для выражения $lg(4\sqrt[5]{2ab^3})$ преобразуем его, используя свойства степеней. Представим $4$ как $2^2$ и корень пятой степени как степень $1/5$:
$lg(4\sqrt[5]{2ab^3}) = lg(2^2 \cdot (2ab^3)^{1/5}) = lg(2^2 \cdot 2^{1/5} \cdot a^{1/5} \cdot b^{3/5})$
Сложим показатели степеней с основанием 2 ($2 + 1/5 = 11/5$):
$lg(2^{11/5}a^{1/5}b^{3/5})$
Применим свойство логарифма произведения:
$lg(2^{11/5}) + lg(a^{1/5}) + lg(b^{3/5})$
И в завершение применим свойство логарифма степени:
$\frac{11}{5}lg(2) + \frac{1}{5}lg(a) + \frac{3}{5}lg(b)$
Ответ: $\frac{11}{5}lg(2) + \frac{1}{5}lg(a) + \frac{3}{5}lg(b)$

6) Для выражения $lg(7a^8b^8\sqrt{c})$ представим квадратный корень из $c$ в виде степени $c^{1/2}$:
$lg(7a^8b^8c^{1/2})$
Применим свойство логарифма произведения:
$lg(7) + lg(a^8) + lg(b^8) + lg(c^{1/2})$
Затем применим свойство логарифма степени для каждого слагаемого:
$lg(7) + 8lg(a) + 8lg(b) + \frac{1}{2}lg(c)$
Ответ: $lg(7) + 8lg(a) + 8lg(b) + \frac{1}{2}lg(c)$