Номер 208, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x = \log_{3}27$

По определению логарифма, выражение $\log_{a}b = c$ эквивалентно уравнению $a^{c} = b$.

Применяя это определение к нашему уравнению, где $a=3$, $b=27$, и неизвестное $x$ является значением логарифма ($c=x$), получаем:

$3^{x} = 27$

Чтобы найти $x$, представим 27 как степень числа 3:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3}$

Теперь уравнение выглядит так: $3^{x} = 3^{3}$.

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 3$

Ответ: 3

2) $y = \log_{2}16$

Используя определение логарифма ($a^{c} = b$), перепишем уравнение в экспоненциальной форме. Здесь $a=2$, $b=16$, $c=y$:

$2^{y} = 16$

Представим число 16 как степень с основанием 2:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$

Подставим это в уравнение: $2^{y} = 2^{4}$.

Отсюда следует, что $y=4$.

Ответ: 4

3) $z = \log_{5}625$

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно $5^{z} = 625$.

Представим 625 как степень числа 5:

$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$

Таким образом, уравнение принимает вид $5^{z} = 5^{4}$.

Следовательно, $z=4$.

Ответ: 4

4) $x = \log_{2}0,125$

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: $2^{x} = 0,125$.

Преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Теперь уравнение выглядит так: $2^{x} = \frac{1}{8}$.

Так как $8 = 2^{3}$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}} = 2^{-3}$.

Получаем уравнение с одинаковыми основаниями: $2^{x} = 2^{-3}$.

Отсюда, $x=-3$.

Ответ: -3

5) $\log_{\frac{3}{2}}y = 2$

В этом уравнении неизвестной является аргумент логарифма $y$.

По определению логарифма, если $\log_{a}b = c$, то $b = a^{c}$.

Применим это правило. Здесь $a=\frac{3}{2}$, $c=2$, $b=y$.

$y = \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Возводим дробь в квадрат:

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$

6) $\log_{\frac{1}{2}}z = -3$

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в экспоненциальной форме. Здесь $a=\frac{1}{2}$, $c=-3$, $b=z$.

$z = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$

Для возведения дроби в отрицательную степень нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень:

$z = \left(\frac{2}{1}\right)^{3} = 2^{3}$

Вычисляем:

$z = 8$

Ответ: 8