Номер 202, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

202. Негізі 10 болғанда төмендегі сандардың логарифмі неге тең:

1) 100;

2) 0,001;

3) $10^n$;

4) $\sqrt{10}$;

5) $\sqrt[3]{10^2}$;

6) $\frac{1}{10\sqrt{10}}$ ?

1) Логарифм по основанию 10 от числа 100 (обозначается как $\lg(100)$) - это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 100.
Поскольку $100 = 10^2$, то логарифм равен 2.
$\lg(100) = \lg(10^2) = 2$.
Ответ: 2

2) Чтобы найти $\lg(0,001)$, представим число 0,001 в виде степени 10.
$0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.
Следовательно, $\lg(0,001) = \lg(10^{-3}) = -3$.
Ответ: -3

3) По основному логарифмическому тождеству, логарифм числа по тому же основанию, возведенного в степень, равен этой степени.
$\lg(10^n) = n$.
Ответ: $n$

4) Представим квадратный корень из 10 в виде степени с основанием 10.
$\sqrt{10} = 10^{1/2}$.
Тогда $\lg(\sqrt{10}) = \lg(10^{1/2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

5) Представим выражение $\sqrt[3]{10^2}$ в виде степени с основанием 10.
$\sqrt[3]{10^2} = (10^2)^{1/3} = 10^{2/3}$.
Тогда $\lg(\sqrt[3]{10^2}) = \lg(10^{2/3}) = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Сначала упростим выражение в знаменателе и представим всю дробь как степень числа 10.
$10\sqrt{10} = 10^1 \cdot 10^{1/2} = 10^{1 + 1/2} = 10^{3/2}$.
Тогда вся дробь равна $\frac{1}{10\sqrt{10}} = \frac{1}{10^{3/2}} = 10^{-3/2}$.
Теперь найдем логарифм: $\lg\left(\frac{1}{10\sqrt{10}}\right) = \lg(10^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$