Номер 196, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

196. Берілген сандар тізбегі 1; 3; 9; 27; 81; ... геометриялық прогрессияны құрайды. Бұл есепті шешу үшін алдымен осы прогрессияның жалпы мүшесінің формуласын, содан кейін оған сәйкес келетін көрсеткіштік функцияны және аргументтің мәндерін анықтау қажет.

1.Геометриялық прогрессияны талдау.

Прогрессияның бірінші мүшесі $b_1 = 1$.

Прогрессияның еселігін (айырмасын) табамыз: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$. Тексеру: $\frac{9}{3} = 3$, $\frac{27}{9} = 3$.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Біздің жағдайда, формула келесідей болады: $b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$. Мұндағы $n$ – прогрессия мүшесінің реттік нөмірі ($n = 1, 2, 3, ...$).

2.Көрсеткіштік функцияны анықтау.

Көрсеткіштік функцияның жалпы түрі $y = a^x$, мұнда $a > 0$ және $a \neq 1$.

Біз прогрессияның мүшелері ($b_n$) осы функцияның мәндеріне ($y$) тең болуын қалаймыз. Яғни, $y = b_n$.

$a^x = 3^{n-1}$

Бұл теңдіктен, ең ыңғайлы таңдау $a=3$ екені көрініп тұр. Сонда біз іздеген көрсеткіштік функция $y = 3^x$ болады.

3.Аргументтің мәндерін табу.

Енді $y = 3^x$ функциясының аргументі $x$-тің қандай мәндерінде прогрессияның мүшелері алынатынын анықтаймыз.

$3^x = b_n = 3^{n-1}$

Негіздері бірдей болғандықтан, дәреже көрсеткіштерін теңестіреміз:

$x = n-1$

$n$ натурал сандар ($1, 2, 3, ...$) болғандықтан, $x$ үшін сәйкес мәндерді табамыз:

• Егер $n=1$, онда $x = 1 - 1 = 0$. Функцияның мәні: $y = 3^0 = 1$ (прогрессияның бірінші мүшесі).
• Егер $n=2$, онда $x = 2 - 1 = 1$. Функцияның мәні: $y = 3^1 = 3$ (прогрессияның екінші мүшесі).
• Егер $n=3$, онда $x = 3 - 1 = 2$. Функцияның мәні: $y = 3^2 = 9$ (прогрессияның үшінші мүшесі).
• Егер $n=4$, онда $x = 4 - 1 = 3$. Функцияның мәні: $y = 3^3 = 27$ (прогрессияның төртінші мүшесі).

Жалғастыра берсек, аргумент $x$ теріс емес бүтін сандардың мәндерін қабылдайтынын көреміз: $x \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$.

Ответ: Берілген геометриялық прогрессияның мүшелері $y=3^x$ көрсеткіштік функциясының мәндерін береді, егер аргумент $x$ теріс емес бүтін сандардың мәндерін қабылдаса: $x = 0, 1, 2, 3, \dots$.