Номер 199, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Чтобы вычислить значение выражения $\log_5{22} - \log_5{11} - \log_5{10}$, воспользуемся свойствами логарифмов. Для логарифмов с одинаковым основанием справедливы следующие формулы: разность логарифмов равна логарифму частного ($\log_a{b} - \log_a{c} = \log_a{\frac{b}{c}}$), а сумма логарифмов равна логарифму произведения ($\log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(b \cdot c)}$).
Сначала сгруппируем последние два члена:$\log_5{22} - (\log_5{11} + \log_5{10})$
Применим формулу суммы логарифмов к выражению в скобках:$\log_5{11} + \log_5{10} = \log_5{(11 \cdot 10)} = \log_5{110}$
Теперь исходное выражение принимает вид:$\log_5{22} - \log_5{110}$
Применим формулу разности логарифмов:$\log_5{\frac{22}{110}}$
Сократим дробь в аргументе логарифма:$\frac{22}{110} = \frac{22}{5 \cdot 22} = \frac{1}{5}$
Получаем:$\log_5{\frac{1}{5}}$
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, представим $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$:$\log_5{5^{-1}}$
По свойству логарифма $\log_a{a^p} = p$, получаем:$\log_5{5^{-1}} = -1$
Ответ: -1

2)Для вычисления значения выражения $\log_2{7} - \log_2{63} + \log_2{36}$ применим те же свойства логарифмов. Можно объединить все действия в одно, представив выражение в виде логарифма одного числа:
$\log_2{7} - \log_2{63} + \log_2{36} = \log_2{\frac{7 \cdot 36}{63}}$
Теперь упростим выражение под знаком логарифма. Разложим число 63 на множители: $63 = 7 \cdot 9$.$\frac{7 \cdot 36}{7 \cdot 9} = \frac{36}{9} = 4$
Таким образом, выражение сводится к:$\log_2{4}$
Так как $4 = 2^2$, то:$\log_2{2^2}$
Используя свойство $\log_a{a^p} = p$, находим:$\log_2{2^2} = 2$
Ответ: 2

3)Для вычисления значения выражения $\log_3{8} - \log_3{4} + \log_3{\frac{9}{2}}$ снова используем свойства суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием.
Объединим все члены в один логарифм:$\log_3{\frac{8 \cdot \frac{9}{2}}{4}}$
Упростим выражение в аргументе логарифма:$\frac{8 \cdot \frac{9}{2}}{4} = \frac{4 \cdot 9}{4} = 9$
Получаем:$\log_3{9}$
Представим число 9 как степень основания 3: $9 = 3^2$.$\log_3{3^2}$
По свойству $\log_a{a^p} = p$:$\log_3{3^2} = 2$
Ответ: 2

4)Для вычисления значения выражения $\log_7{64} - \log_7{256} + \log_7{28}$ применим те же свойства логарифмов.
Объединим все члены под одним знаком логарифма:$\log_7{\frac{64 \cdot 28}{256}}$
Упростим дробное выражение в аргументе. Заметим, что $256 = 4 \cdot 64$.$\frac{64 \cdot 28}{256} = \frac{64 \cdot 28}{4 \cdot 64} = \frac{28}{4} = 7$
Таким образом, выражение сводится к:$\log_7{7}$
По определению логарифма, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице: $\log_a{a} = 1$.$\log_7{7} = 1$
Ответ: 1