Номер 198, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\log_2 16$

По определению логарифма, $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $a^c = b$. Чтобы найти значение $\log_2 16$, нам нужно найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $2^x = 16$.

Представим число 16 как степень числа 2:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Таким образом, мы получаем уравнение $2^x = 2^4$. Так как основания степеней равны, то равны и их показатели. Следовательно, $x = 4$.

Ответ: $4$

2) $\log_{0,2} 0,04$

Пусть $\log_{0.2} 0.04 = x$. По определению логарифма, это означает, что $(0.2)^x = 0.04$.

Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

Теперь наше уравнение выглядит так: $(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25}$.

Мы знаем, что $25 = 5^2$, поэтому $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2}$. Используя свойство степени, это можно записать как $(\frac{1}{5})^2$.

Получаем уравнение $(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2$. Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны, откуда следует, что $x = 2$.

Ответ: $2$

3) $\log_3 \frac{1}{81}$

Обозначим искомое значение как $x$: $\log_3 \frac{1}{81} = x$. Согласно определению логарифма, это эквивалентно уравнению $3^x = \frac{1}{81}$.

Представим число 81 в виде степени числа 3:

$81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.

Тогда дробь $\frac{1}{81}$ можно записать как $\frac{1}{3^4}$.

Используя свойство степеней с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем, что $\frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.

Наше уравнение принимает вид $3^x = 3^{-4}$, из чего следует, что $x = -4$.

Ответ: $-4$

4) $\log_{\frac{1}{3}} 9$

Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 9 = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^x = 9$.

Представим основание логарифма и число под логарифмом как степени одного и того же числа, в данном случае числа 3.

Основание: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Число под логарифмом: $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в наше уравнение: $(3^{-1})^x = 3^2$.

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^{-x} = 3^2$.

Приравнивая показатели степеней, получаем уравнение $-x = 2$, откуда $x = -2$.

Ответ: $-2$

5) $\log_{23} 1$

По определению логарифма, $\log_{23} 1 = x$ означает, что $23^x = 1$.

Известно, что любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Это можно записать как $a^0=1$ для $a \neq 0$.

Так как основание $23 \neq 0$, то уравнение $23^x = 1$ имеет единственное решение $x = 0$.

Это также следует из общего свойства логарифмов: логарифм единицы по любому допустимому основанию ($a>0, a \neq 1$) всегда равен нулю: $\log_a 1 = 0$.

Ответ: $0$

6) $\log_5 \frac{1}{125}$

Пусть $\log_5 \frac{1}{125} = x$. Согласно определению логарифма, это равносильно уравнению $5^x = \frac{1}{125}$.

Представим число 125 как степень числа 5:

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Следовательно, дробь $\frac{1}{125}$ можно записать как $\frac{1}{5^3}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем переписать это как $5^{-3}$.

Наше уравнение принимает вид $5^x = 5^{-3}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $x = -3$.

Ответ: $-3$