Номер 200, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для преобразования показательного равенства $3^6 = 729$ в логарифмическое, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = x$ является эквивалентной записью для $a^x = b$. В данном равенстве основание $a=3$, показатель степени $x=6$, а число $b=729$. Подставив эти значения в определение логарифма, получаем искомую форму.
Ответ: $\log_3 729 = 6$

2) Показательное равенство $4^5 = 1024$ необходимо представить в виде логарифмического. Общее правило перехода гласит: $a^x = b \iff \log_a b = x$. Здесь основанием степени является $a=4$, показателем — $x=5$, а результатом — $b=1024$. Таким образом, логарифм числа 1024 по основанию 4 равен 5.
Ответ: $\log_4 1024 = 5$

3) Дано равенство $10^4 = 10000$. Чтобы записать его через логарифм, определим его компоненты: основание $a=10$, показатель $x=4$ и число $b=10000$. Согласно определению логарифма ($\log_a b = x$), показатель степени — это логарифм числа по соответствующему основанию. Для основания 10 используется специальное обозначение — десятичный логарифм ($\lg$).
Ответ: $\log_{10} 10000 = 4$

4) Равенство $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ является показательным. Для его логарифмической записи идентифицируем основание $a = \frac{1}{2}$, показатель степени $x = 5$ и результат $b = \frac{1}{32}$. Применяя формулу перехода $\log_a b = x$, получаем равенство, где логарифм числа $\frac{1}{32}$ по основанию $\frac{1}{2}$ равен 5.
Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$

5) Рассмотрим показательное равенство $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$. В этом выражении основание $a = \frac{2}{3}$, показатель степени $x = 3$, а значение степени $b = \frac{8}{27}$. Преобразование в логарифмическую форму выполняется по правилу $a^x = b \iff \log_a b = x$. Подстановка дает искомое логарифмическое равенство.
Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} \frac{8}{27} = 3$

6) Дано равенство $10^{-3} = 0,001$. Это показательное равенство с основанием $a = 10$, отрицательным показателем степени $x = -3$ и результатом $b = 0,001$. Используя определение логарифма $\log_a b = x$, мы можем записать, что логарифм числа 0,001 по основанию 10 равен -3.
Ответ: $\log_{10} 0,001 = -3$