Номер 204, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) ln e;

Натуральный логарифм ($ln$) — это логарифм по основанию $e$. Таким образом, выражение $ln(e)$ эквивалентно $log_e(e)$.

Согласно основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому же числу, равен единице: $log_b(b) = 1$.

Следовательно, $ln(e) = log_e(e) = 1$.

Ответ: $1$.

2) ln e^1/3;

Для решения этого примера воспользуемся свойством логарифма степени: $log_a(b^p) = p \cdot log_a(b)$.

Применяя данное свойство к нашему выражению, мы можем вынести показатель степени вперёд:

$ln(e^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot ln(e)$.

Поскольку из первого пункта мы знаем, что $ln(e) = 1$, то получаем:

$\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) ln √e;

Сначала необходимо представить квадратный корень в виде степени с дробным показателем. Квадратный корень из числа эквивалентен этому числу в степени $\frac{1}{2}$.

$\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$.

Теперь исходное выражение принимает вид: $ln(e^{\frac{1}{2}})$.

Используем то же свойство логарифма степени, что и в предыдущем пункте ($log_a(b^p) = p \cdot log_a(b)$):

$ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot ln(e)$.

Так как $ln(e) = 1$, результат вычисления равен:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) ln(lg 10).

Это выражение является составной функцией, поэтому вычислять его нужно последовательно, начиная с внутренней части.

Внутренняя часть — это $lg(10)$. Десятичный логарифм ($lg$) — это логарифм по основанию 10. Таким образом, $lg(10)$ — это $log_{10}(10)$.

Применяя свойство $log_b(b) = 1$, получаем, что $lg(10) = 1$.

Теперь подставим полученное значение $1$ обратно в исходное выражение вместо $lg(10)$:

$ln(lg(10)) = ln(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) всегда равен нулю, так как любое число (в нашем случае $e$) в нулевой степени даёт единицу ($e^0 = 1$).

Следовательно, $ln(1) = 0$.

Ответ: $0$.