Номер 206, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\log_{\frac{1}{5}} 9 + 2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3}$

Для решения используем свойства логарифмов: $n \log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$.

Сначала преобразуем второе слагаемое, используя свойство степени логарифма:

$2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3} = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\log_{\frac{1}{5}} 9 + \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9}$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_{\frac{1}{5}} \left(9 \cdot \frac{25}{9}\right) = \log_{\frac{1}{5}} 25$

Чтобы найти значение логарифма, необходимо найти степень $x$, в которую нужно возвести основание $\frac{1}{5}$, чтобы получить 25. То есть, решить уравнение $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$.

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$, получаем:

$(5^{-1})^x = 5^2$

$5^{-x} = 5^2$

Отсюда следует, что $-x = 2$, а значит $x = -2$.

Ответ: -2

2) $\log_3 8 + 3\log_3 \frac{9}{2}$

Используем те же свойства логарифмов.

Преобразуем второе слагаемое:

$3\log_3 \frac{9}{2} = \log_3 \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_3 \frac{9^3}{2^3} = \log_3 \frac{729}{8}$

Подставляем преобразованное слагаемое в выражение:

$\log_3 8 + \log_3 \frac{729}{8}$

Применяем свойство суммы логарифмов:

$\log_3 \left(8 \cdot \frac{729}{8}\right) = \log_3 729$

Найдём значение логарифма, решив уравнение $3^x = 729$.

Так как $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$, то $x = 6$.

Ответ: 6

3) $\log_7 196 - 2\log_7 2$

Используем свойства логарифмов: $n \log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a - \log_b c = \log_b \left(\frac{a}{c}\right)$.

Преобразуем вычитаемое:

$2\log_7 2 = \log_7 2^2 = \log_7 4$

Подставляем в исходное выражение:

$\log_7 196 - \log_7 4$

Применяем свойство разности логарифмов:

$\log_7 \left(\frac{196}{4}\right) = \log_7 49$

Найдём значение, решив уравнение $7^x = 49$.

Так как $49 = 7^2$, то $x = 2$.

Ответ: 2

4) $\log_2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3}$

Используем свойства логарифмов, как и в предыдущих примерах.

Преобразуем второе слагаемое:

$\frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3} = \log_2 \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2 \sqrt{\frac{4}{3}} = \log_2 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \log_2 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Подставляем полученное выражение обратно в исходное:

$\log_2 \sqrt{3} + \log_2 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Применяем свойство суммы логарифмов:

$\log_2 \left(\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \log_2 2$

По основному свойству логарифма $\log_b b = 1$, получаем:

$\log_2 2 = 1$

Ответ: 1