Номер 212, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения каждого уравнения мы будем использовать основное определение логарифма: $log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. При этом основание логарифма $b$ должно удовлетворять условиям $b > 0$ и $b \neq 1$.

1) $log_x 36 = 0,5$

Применяя определение логарифма, получаем показательное уравнение:

$x^{0,5} = 36$

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, уравнение можно переписать как:

$x^{1/2} = 36$

Это то же самое, что и $\sqrt{x} = 36$.

Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 36^2$

$x = 1296$

Проверяем: основание $x=1296$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=1296$.

2) $log_x 27 = \frac{3}{2}$

По определению логарифма, имеем:

$x^{3/2} = 27$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ (обратную к $\frac{3}{2}$):

$(x^{3/2})^{2/3} = 27^{2/3}$

$x = (3^3)^{2/3}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$x = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

Проверяем: основание $x=9$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=9$.

3) $log_x 64 = 1,2$

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

Уравнение принимает вид $log_x 64 = \frac{6}{5}$.

По определению логарифма:

$x^{6/5} = 64$

Возведем обе части в степень $\frac{5}{6}$:

$(x^{6/5})^{5/6} = 64^{5/6}$

$x = (2^6)^{5/6}$

$x = 2^{6 \cdot \frac{5}{6}} = 2^5 = 32$

Проверяем: основание $x=32$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=32$.

4) $log_x 2 = -0,5$

Представим $-0,5$ в виде дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

Уравнение становится $log_x 2 = -\frac{1}{2}$.

По определению логарифма:

$x^{-1/2} = 2$

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{x^{1/2}} = 2$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2$

Отсюда $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

Возводим обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Проверяем: основание $x=\frac{1}{4}$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=\frac{1}{4}$.