Номер 219, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Логарифмнің мәні қандай екі теріс бүтін санның арасында орналасқанын анықтау үшін, логарифм астындағы санды негіздің көршілес бүтін дәрежелерімен салыстыру керек. Яғни, $a^n < x < a^{n+1}$ теңсіздігін қанағаттандыратын $n$ бүтін санын табу керек, мұндағы $x$ - берілген сан, $a$ - логарифм негізі. Сонда $n < \log_a x < n+1$ болады. Бұл есепте негіз 10 болғандықтан, $10^n < x < 10^{n+1}$ теңсіздігі орындалатын $n$ санын іздейміз. Ондық логарифм $\lg x$ деп белгіленеді.

0,07 үшін:
$10^{-2} = 0,01$ және $10^{-1} = 0,1$.
$0,01 < 0,07 < 0,1$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-2} < 0,07 < 10^{-1}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-2}) < \lg(0,07) < \log_{10}(10^{-1})$
$-2 < \lg(0,07) < -1$.
Демек, $\lg(0,07)$ мәні -2 және -1 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -2 және -1.

0,018 үшін:
$10^{-2} = 0,01$ және $10^{-1} = 0,1$.
$0,01 < 0,018 < 0,1$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-2} < 0,018 < 10^{-1}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-2}) < \lg(0,018) < \log_{10}(10^{-1})$
$-2 < \lg(0,018) < -1$.
Демек, $\lg(0,018)$ мәні -2 және -1 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -2 және -1.

0,00125 үшін:
$10^{-3} = 0,001$ және $10^{-2} = 0,01$.
$0,001 < 0,00125 < 0,01$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-3} < 0,00125 < 10^{-2}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-3}) < \lg(0,00125) < \log_{10}(10^{-2})$
$-3 < \lg(0,00125) < -2$.
Демек, $\lg(0,00125)$ мәні -3 және -2 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -3 және -2.

0,00005 үшін:
$10^{-5} = 0,00001$ және $10^{-4} = 0,0001$.
$0,00001 < 0,00005 < 0,0001$ теңсіздігі орындалады, яғни $10^{-5} < 0,00005 < 10^{-4}$.
Бұл теңсіздікті 10 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_{10}(10^{-5}) < \lg(0,00005) < \log_{10}(10^{-4})$
$-5 < \lg(0,00005) < -4$.
Демек, $\lg(0,00005)$ мәні -5 және -4 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -5 және -4.

2) Бұл жағдайда негіз 2-ге тең. Сондықтан $2^n < x < 2^{n+1}$ теңсіздігін қанағаттандыратын $n$ бүтін санын іздейміз. 2-нің кейбір теріс дәрежелерін қарастырайық: $2^{-3}=\frac{1}{8}$, $2^{-4}=\frac{1}{16}$, $2^{-5}=\frac{1}{32}$, $2^{-6}=\frac{1}{64}$, $2^{-7}=\frac{1}{128}$.

$\frac{1}{15}$ үшін:
$\frac{1}{16} < \frac{1}{15}$ және $\frac{1}{15} < \frac{1}{8}$ болғандықтан, $\frac{1}{16} < \frac{1}{15} < \frac{1}{8}$ теңсіздігі орындалады.
Бұл $2^{-4} < \frac{1}{15} < 2^{-3}$ дегенді білдіреді.
Теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_2(2^{-4}) < \log_2(\frac{1}{15}) < \log_2(2^{-3})$
$-4 < \log_2(\frac{1}{15}) < -3$.
Демек, $\log_2(\frac{1}{15})$ мәні -4 және -3 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -4 және -3.

$\frac{3}{80}$ үшін:
$2^{-5}=\frac{1}{32}$ және $2^{-4}=\frac{1}{16}$. Бөлшектерді салыстыру үшін ортақ бөлімге келтірейік: $\frac{1}{32} = \frac{2.5}{80}$ және $\frac{1}{16} = \frac{5}{80}$.
$\frac{2.5}{80} < \frac{3}{80} < \frac{5}{80}$ болғандықтан, $\frac{1}{32} < \frac{3}{80} < \frac{1}{16}$ теңсіздігі орындалады.
Бұл $2^{-5} < \frac{3}{80} < 2^{-4}$ дегенді білдіреді.
Теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_2(2^{-5}) < \log_2(\frac{3}{80}) < \log_2(2^{-4})$
$-5 < \log_2(\frac{3}{80}) < -4$.
Демек, $\log_2(\frac{3}{80})$ мәні -5 және -4 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -5 және -4.

$\frac{1}{120}$ үшін:
$\frac{1}{128} < \frac{1}{120}$ және $\frac{1}{120} < \frac{1}{64}$ болғандықтан, $\frac{1}{128} < \frac{1}{120} < \frac{1}{64}$ теңсіздігі орындалады.
Бұл $2^{-7} < \frac{1}{120} < 2^{-6}$ дегенді білдіреді.
Теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек:
$\log_2(2^{-7}) < \log_2(\frac{1}{120}) < \log_2(2^{-6})$
$-7 < \log_2(\frac{1}{120}) < -6$.
Демек, $\log_2(\frac{1}{120})$ мәні -7 және -6 сандарының арасында орналасқан.
Ответ: -7 және -6.